下調和函式

下調和函式

下調和函式(subharmonic function)亦稱次調和函式,是亞調和函式的一個子類。若-f為上調和函式,則f稱為同一區域內的下調和函式,此時,若φ(t)是t的單調增的凸函式,則φ°f為下調和函式。例如,當u(x)為D⊂R2上的復值解析函式,實數α>0時,|u(x)|α與αlog|u(x)|都是下調和函式。

基本介紹

  • 中文名:下調和函式
  • 外文名:subharmonic function
  • 所屬學科:數學
  • 別稱:次調和函式
  • 相關概念:上調和函式、亞調和函式等
定義,相關性質,性質1,性質2,性質3,性質4,性質5,性質6,性質7,性質8,性質9,

定義

定義一:設函式
上連續,則對
,可以定義一個連續函式
即函式
上連續,在球B外部及邊界
上等於
,在球B內是調和函式
定義二:
在區域
上連續,如果對
,有
則稱
上的上調和函式,簡稱上調和函式;如果對
,有
則稱
上的下調和函式,簡稱下調和函式
定義三:設函式
上連續,如果
上的上調和函式
均滿足
則稱
的一個上函式;如果
上的下調和函式
均滿足
則稱
的一個下函式

相關性質

性質1

設函式
上連續,在
內是調和函式,則
既是上調和函式也是下調和函式。

性質2

是上(或下)調和函式,則
是下(或上)調和函式。

性質3

都是上(或下)調和函式,則
也是上(或下)調和函式。

性質4

上的上(或下)調和函式,則除
恆等於常數外,它只能在邊界
上取到最小值(或最大值)。
利用上調和函式與下調和函式的定義,容易證明性質1到4。

性質5

都是上調和函式,則函式
也是上調和函式。
證明:
易知,
另一方面,對
,由
定義可知,對
,有
並對
,有
故由
,並根據極值原理可知,對
綜上可知,
,且對
,有
上的上調和函式。

性質6

上的上調和函式,則
也是上調和函式。

性質7

設函式
的邊界
上連續,則
的任意一個上函式都不小
任意一個下函式。
證明:
的任意一個上函式,
的任意一個下函式,則對
,有
並由性質2及性質3可知,
上的上調和函式,故由性質4可知,
上取最小值,即對
,有
從而在
內,
不小於
。即對

性質8

都是
的上函式,則函式
也是
的上函式。

性質9

的上函式,則函式
也是
的上函式。

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