哈納克定理

哈納克定理是關於單調遞增調和函式序列的收斂定理，由德國數學家哈納克提出。

基本介紹

• 中文名：哈納克定理
• 外文名：Harnack's theorem
• 適用範圍：數理科學

定義

哈納克定理是關於單調遞增調和函式序列的收斂定理。

它可敘述成下述形式：若函式序列u_n(z)(n=1,2,...)中的每一個函式都是區域D內的非負調和函式，且

在z=a∈D收斂，則

在D內閉一致收斂。

提出者背景

哈納克（Harnack ，Carl (Uustav， Axel，1851-1888)），是德國數學家，生平不詳，早年在塔爾圖(Tarto，今屬愛沙尼亞)與埃爾朗根學習，1877年成為德勒斯登綜合技術學校教授。

哈納克在函式論和三角級數方面有所貢獻。在他的《微積分學原理》(1881)中，首次給出了點集的（外）容量概念，稱為施托爾茨一哈納克(Stolz一Har-nack)容量。這一概念後來由若爾當(Jordan,M.E.C.)、波萊爾和勒貝格發展為測度論。他還研究了調和函式，提出了著名的哈納克定理。著作還有《對數位勢和平面上單值位勢函式基本理論》(1887)等。

調和函式

調和函式是在某區域中滿足拉普拉斯方程的函式。通常對函式本身還附加一些光滑性條件，例如有連續的一階和二階偏導數。當自變數為n個（從而區域是n維的）時，則稱它為n維調和函式。

在數學、數學物理學以及隨機過程理論中，都有調和函式的概念。一個調和函式是一個二階連續可導的函式f:U→R（其中U是R里的一個開子集），其滿足拉普拉斯方程，即在U上滿足方程：

上式也經常寫作

，其中符號是拉普拉斯運算元。