重調和方程

在數學中，重調和方程是在連續力學領域產生的四階偏微分方程，包括線性彈性理論和斯托克斯流的解。

最簡單的高階橢圓型偏微分方程.方程▽ku=0（▽為拉普拉斯運算元,k為大於1的整數）稱為重調和方程。特別地，當k=2時，重調和方程又稱為雙調和方程，它在彈性力學中有重要的地位。

基本介紹

• 中文名：重調和方程
• 外文名：Biharmonic equation
• 學科：數學
• 一般形式：▽ku=0　▽=,k>...1
• 屬性：最簡單的高階橢圓型偏微分方程
• 相關名詞：調和函式

簡介

在數學中，重調和方程是在連續力學領域產生的四階偏微分方程，包括線性彈性理論和斯托克斯流的解。 它寫成：

或者寫成：

或者寫成：

其中 ，它是del運算符的四次冪並且也是拉普拉斯運算元 （或 ）的平方，它被稱為重調和運算符或雙重運算符。 它可以寫成n維如下所示的形式：

例如，在三維笛卡爾坐標中，重調和方程具有形式：

另一個例子，在n維歐氏空間中，

其中，

對於n = 3和僅n = 5，其變為重調和方程。

重調和方程的解稱為重調和函式。 任何諧波函式是重調和的，但反過來就不成立了。

在二維極坐標中，重調和方程為：

這可以通過分離變數來解決。 結果是米歇爾解。

二維空間

二維空間的例子的一般解是：

其中 和 是諧波函式， 是 的諧波共軛。

正如2個變數中的諧波函式與複雜分析函式密切相關，在2個變數中的重調和函式也是如此。 2個變數中的重調和函式的一般形式也可以寫成：

其中 和 是分析函式。

重調和方程的基本解

二維重調和方程的基本解

求u使滿足方程：

取極坐標系，設其基本解為u=u(r)。

極坐標下方程 的通解為：

其中， 為任意常數。

因

故 的解為

於是就產生了下面的定理。

定理1：

二維重調和方程 的基本解為：

由此去聯想二維n重調和方程

的基本解。

定理2：

二維n重調和方程的基本解為：

證明類似定理1。

三維重調和方程的基本解

先考慮三維雙調和的基本解，即求u使滿足方程：

取極坐標系，設其基本解為u=u(r)。

通解為：

其中， 為任意常數。

因處處成立，從而。

然後有如下定理：

定理3：

三維雙調和方程的基本解為;

定理4：

三維n重調和方程的基本解為：