泊松方程

泊松方程是數學中一個常見於靜電學、機械工程和理論物理的偏微分方程。是因法國數學家、幾何學家及物理學家泊松而得名的。

泊松首先在無引力源的情況下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；當考慮引力場時，有△Φ=f（f為引力場的質量分布）。後推廣至電場磁場，以及熱場分布。該方程通常用格林函式法求解，也可以分離變數法，特徵線法求解。

基本介紹

• 中文名：泊松方程
• 外文名：Poisson's Equation
• 性質：偏微分方程
• 名字由來：因法國數學家泊松而得名
• 公式：△φ=f
• 屬於：非齊次的拉普拉斯方程
• 別名：泊瓦桑方程

方程的敘述

泊松方程為

在這裡 代表的是拉普拉斯運算元，而f和 可以是在流形上的實數或複數值的方程。當流形屬於歐幾里得空間，而拉普拉斯運算元通常表示為 ，因此泊松方程通常寫成

在三維直角坐標系，可以寫成

如果有 恆等於0，這個方程就會變成一個齊次方程，這個方程稱作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函式來求解；如何利用格林函式來解泊松方程可以參考禁止泊松方程。現在有很多種數值解。像是鬆弛法，不斷迴圈的代數法，就是一個例子。

數學表達

通常泊松方程表示為

這裡代表拉普拉斯運算元，f為已知函式，而為未知函式。當 f=0時，這個方程被稱為拉普拉斯方程。

為了解泊松方程我們需要更多的信息，比如狄利克雷邊界條件:

其中 為有界開集。

這種情況下利用基礎函式構建泊松方程的解，拉普拉斯方程的基礎函式為:

其中 為n維歐幾里得空間中單位球面的體積，此時可通過卷積得到 的解。

為了使方程滿足上述邊界條件，我們使用格林函式

為一個校正函式，它滿足

通常情況下 是依賴於 。

通過 可以給出上述邊界條件的解

其中 表示 上的曲面測度。

此方程的解也可通過變分法得到。

套用

在靜電學很容易遇到泊松方程。對於給定的f找出φ是一個很實際的問題，因為我們經常遇到給定電荷密度然後找出電場的問題。在國際單位制（SI）中：

此 代表電勢（單位為伏特）， 是電荷體密度（單位為庫侖/立方米），而 是真空電容率（單位為法拉/米）。

如果空間中有某區域沒有帶電粒子，則

此方程就變成拉普拉斯方程：

高斯電荷分布的電場

如果有一個三維球對稱的高斯分布電荷密度 ：

此處，Q代表總電荷

此泊松方程： 的解Φ(r)則為

erf(x)代表的是誤差函式。

注意：如果r遠大於σ，erf(x)趨近於1，而電場Φ(r)趨近點電荷電場 ；正如我們所預期的。