分離變數法

分離變數法是將一個偏微分方程分解為兩個或多個只含一個變數的常微分方程。將方程中含有各個變數的項分離開來，從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個自變數的常微分方程。運用線性疊加原理，將非齊次方程拆分成多個齊次的或易於求解的方程。

基本介紹

• 中文名：分離變數法
• 外文名：The method of separation of variables
• 分解為：只含一個變數的常微分方程
• 主體：偏微分方程
• 套用學科：數學
• 相關術語：疊加原理

主要思想

數學上，分離變數法是一種解析常微分方程或偏微分方程的方法。使用這方法，可以借代數來將方程式重新編排，讓方程式的一部分只含有一個變數，而剩餘部分則跟此變數無關。這樣，隔離出的兩個部分的值，都分別等於常數，而兩個部分的值的代數和等於零。

利用高數知識、級數求解知識，以及其他巧妙的方法，求出各個方程的通解。最後將這些通解“組裝起來”。分離變數法是求解波動方程初邊值問題的一種常用方法。

常微分方程

第一種方法

假若，一個常微分方程可以寫為

。

設定變數 y=f(x)。那么，

．(1)

只要是 ，就可以將方程式兩邊都除以h(y) ，再都乘以 dx ：

。

這樣，可以將兩個變數x ，y 分離到方程式的兩邊。由於任何一邊的表達式跟另外一邊的變數無關，表達式恆等於常數k 。因此，可以得到兩個較易解的常微分方程；

。

第二種方法

有些不喜歡用萊布尼茨標記(Leibniz's notation) 的數學家，或許會選擇將公式 (1) 寫為

。

這寫法有一個問題：無法比較明顯的解釋，為什麼這方法叫作分離變數法？

隨著 x積分公式的兩邊，可以得到

。(2)

套用換元積分法，

。

假如，可以求算這兩個積分，則這常微分方程有解。這方法允許將導數 當做可分的分式看待，可以較方便的解析可分的常微分方程。

偏微分方程

給予一個n 元函式的偏微分方程，有時候，為了將問題的偏微分方程式改變為一組常微分方程，可以猜想一個解答；解答的形式為

，

或者

。

時常，對於每一個自變數 ，都會伴隨著一個分離常數。如果，這個方法成功，則稱這偏微分方程為可分偏微分方程(separable partial differential equation)。

例子

設複數 ，兩邊對 求導數，得

分離變數，得

對兩邊積分，得

即

取 得， ，故有 ，即