換元積分法

換元積分法（Integration By Substitution）是求積分的一種方法，主要通過引進中間變數作變數替換使原式簡易，從而來求較複雜的不定積分。它是由鏈式法則和微積分基本定理推導而來的。

基本介紹

• 中文名：換元積分法
• 外文名：Integration By Substitution
• 常用於：複合函式
• 屬於：數學
• 相關術語：積分
• 套用學科：數學

定義

換元積分法是求積分的一種方法。它是由鏈式法則和微積分基本定理推導而來的。

在計算函式導數時.複合函式是最常用的法則,把它反過來求不定積分，就是引進中間變數作變數替換，把一個被積表達式變成另一個被積表達式。從而把原來的被積表達式變成較簡易的不定積分這就是換元積分法。換元積分法有兩種，第一類換元積分法和第二類換元積分法。

兩種方法

第一類

第一類換元法,也稱為湊微分法，推導過程如下：

設 在 上有定義， 在 上可導，且 ， ，並記 ， 。

若 在 上存在原函式 ，則 在 上也存在原函式 ， ，即

在使用時，也可把它寫成如下簡便形式：

使用這種方法的關鍵在於將 湊成 ，以及 的原函式容易獲得，下面通過一個例子來講解：

求

解：

第二類

設 在 上有定義， 在 上可導，且 ， ，並記 ， 。

若 ， ，則當 在 上存在原函式 時， 在 上也存在原函式 ，且 ，即

(其中 是 的反函式)

此時觀察這兩類換元法的定理公式,發現它們是互相可逆的。

例子

計算積分 。

其中換元為後，亦變為，是因為其形式為黎曼－斯蒂爾傑斯積分，但在黎曼－斯蒂爾傑斯積分中變數的取值範圍應該還是x的取值範圍，而不是g(x)的取值範圍。