矩陣運算元

運算元（英語：Operator）是從一個向量空間（或模）到另一個向量空間（或模）的映射。矩陣運算元是當需要建立從當前矩陣到特殊類型矩陣的映射時所使用的方法。

基本介紹

  • 中文名：矩陣運算元
  • 外文名：Matrix Operator
  • 領域：數學
運算元,有界運算元和運算元範數,特殊情形,泛函,線性運算元,例子,幾何,機率論,微積分,標量和向量場上的基本運算元,另請參閱,

運算元

運算元（英語：Operator）是從一個向量空間（或模）到另一個向量空間（或模）的映射。 運算元對於線性代數和泛函分析都至關重要，它在純數學和套用數學的許多其他領域中都有套用。 例如，在經典力學中，導數的使用無處不在，而在量子力學中，可觀察量由埃爾米特運算元表示。 各種運算元可以具有包括線性、連續性和有界性等的重要性質。
設U、V是兩個向量空間。 從U到V的任意映射被稱為運算元。 令V是域K上的向量空間。我們可以定義包含所有從U到V運算元的集合上的向量空間結構（A和B是運算元）：
對所有A, B: U→V，x
U和α
K。從一個向量空間到自身的運算元構成一個辛結合代數：
單位元是恆等映射（通常記為E、I或id）。

有界運算元和運算元範數

令U和V是同一有序域（例如
）上的兩個賦范向量空間。從U到V的線性運算元被稱為有界，如果存在C>0滿足
對所有x
U。
有界運算元構成一個向量空間。在這個向量空間上，我們可以引入一個與U和V的範數相容的範數：
對於從U到自身的運算元有
任何具有這一性質的辛賦范代數被稱為Banach代數。 可以將譜理論推廣到這樣的代數上。C*-代數是具有一些附加結構的Banach代數，在量子力學中起重要作用。

特殊情形

泛函

泛函是將向量空間映射到其底域的運算元。廣義函式理論和變分法是泛函的重要套用。 兩者對理論物理都非常重要。

線性運算元

線性運算元是最常見的運算元。設U和V是域K上的向量空間。運算元A：U→V被稱為線性，如果
對所有x、y
U和α、β
K。線性運算元的重要性在於它是向量空間之間的態射。
在有限維情形下，線性運算元可以以下面的方式由矩陣表示。 設
是一個域，
和
是
上有限維向量空間。選擇一組基
上和一組基
在
上。令
為
上的任意向量（假設有愛因斯坦求和約定），且有
是線性運算元。則有
所以有
是運算元
在固定基底下的矩陣表示。
不依賴於
的選取，且有
若且唯若
。因此在固定基底下的n×m矩陣一一映射到從
到
的線性運算元。
與有限維向量空間之間的運算元直接相關的重要概念包括秩、行列式、逆運算元和特徵空間。
線性運算元在無限維情形也起著重要作用。秩和行列式的概念不能擴展到無限維矩陣。 這就是為什麼在無限維情況下研究線性運算元（和一般的運算元）時採用非常不同的技術的原因。 在無限維情況下的對線性運算元的研究被稱為泛函分析。
實數序列（或更一般地任意向量空間中的向量序列）的空間本身構成無限維向量空間。 最重要的情形是實數或複數序列，這些空間與線性子空間一起被稱為序列空間。 這些空間上的運算元被稱為序列變換。
巴拿赫空間上的有界線性運算元在標準運算元範數意義下構成Banach代數。 Banach代數理論將特徵空間理論推廣到更一般的譜的概念。

例子

幾何

在幾何中，有時研究向量空間上的附加結構。 在這些研究中，將這些向量空間一一映射到自身的運算元非常有用，它們通過構造自然地構成群。
例如保持向量空間結構的雙射運算元正是可逆線性運算元。 它們構成了一般線性群。 它們運算元加法下不是向量空間，例如，id和-id都是可逆的（雙射），但它們的和為0，不可逆。
在這樣的空間上保持歐幾里得度量的運算元構成等度群，保持原型不變的子群被稱為正交群。正交群中的保角運算元構成特殊正交群。

機率論

機率論中也涉及到運算元，如期望、方差、協方差、階乘等。

微積分

從泛函分析的角度來說，微積分是研究兩個線性運算元：微分運算元
和不定積分運算元
。

標量和向量場上的基本運算元

三個運算元是向量微積分的關鍵：
Grad（梯度），（運算元符號
）在標量場中的每個點對應一個向量，指向該場最大變化率的方向，並且其範數是該最大變化率的絕對值。
Div（散度），（運算元符號
）是一個向量運算元，用於描述向場從給定點向外的發散度或朝向給定點的收斂度。
Curl（旋度），（運算元符號
）是一個向量運算元，用於描述在給定點的向量場旋轉程度。
作為從向量微積分運算元到物理、工程和張量空間的延伸，梯度、散度和旋度運算元也經常與張量微積分相關聯。

另請參閱

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