巴拿赫空間上具有某種譜分解性質的一類運算元，它是若爾當型矩陣在無窮維空間的一種推廣。 自共軛的常微分方程的邊值問題的研究發展成希爾伯特空間上自伴運算元（或自共軛運算元）的譜論，這是20世紀數學上的重大成就。
基本介紹
- 中文名：譜運算元
- 外文名：spectral operator
- 適用範圍：數理科學
定義,簡介,譜測度,條件,
定義
譜運算元是由鄧福德（N.Dunford）於 20 世紀 50年代引入的，是矩陣若爾當型在無限維的推廣。
設
為複平面的博雷爾可測空間，
是巴拿赫空間，
。如果存在 到 的譜測度
滿足：
①
；
②
；
③
在
上是一致有界的，即存在
，使得
，則稱 T 為譜運算元，稱
為 T 的譜分解。
譜運算元的譜分解是唯一的。若譜測度 E 具有緊支集
，則稱運算元
為純量運算元 (scalar operator)。T 是譜運算元，N 是廣義冪零運算元且
。
類似地，將條件①變為
，則可以定義無界的譜運算元。
此時，一般不再有分解
。
簡介
自伴運算元譜論是對稱矩陣酉等價理論的推廣，而對一般的矩陣，則問題歸結於刻畫其完全的相似不變數。至於希爾伯特空間上的非正規運算元以至巴拿赫空間上的一般運算元的譜論，從理論和套用來看雖然都很重要，但是處理起來十分困難。
例如和這件事有關的不變子空間問題，從J.馮·諾伊曼的研究到現在已有半個世紀，進展仍不大。其次，即使解決了不變子空間問題，對許多運算元也還難於有一個能與自伴運算元譜論相比擬的完全的譜分析。
遠在20世紀之初，G.D.伯克霍夫等便已研究過一類非自伴的常微分運算元的特徵展開問題，並且討論了它的特徵展開的收斂性。 F.（F.）里斯和後來的И.М.蓋爾范德等人則開展了取值於巴拿赫空間的複變函數論並用於研究一般運算元的譜論。30年代末，K.O.弗里德里希斯為研究連續譜擾動而提出了相似方法。正是在以上這些工作的基礎上，N.鄧福德在50年代創立了譜運算元理論。
譜測度
設B為複平面C上波萊爾子集構成的σ代數。
若E是從B到巴拿赫空間X上射影運算元族之同態映射，並且E(·)還是一致有界的，即E(C)=I，E(C \σ)=I-E(σ)，
‖E(σ)‖≤K（常數） (σ∈B)，則稱{E(σ)|σ∈B}為譜測度。這裡運算元A∨B=A+B-AB。
條件
研究一個運算元是譜運算元的條件，當然很重要。自伴運算元理論已經指出這類問題的困難和一些可能進攻的途徑。這裡擾動的方法是常用的，據此人們把前述伯克霍夫等人的工作推廣到一類譜運算元上去。
重要的弗里德思希斯方法的大意是對運算元T與適當的運算元K，如果能找到具有界逆的運算元U使得T+K=UTU，那么T+K的譜論便化歸為T。這些方面的結果，已成功地套用於大量的運算元和物理問題。
