序列空間

在數學里，希爾伯特空間即完備的內積空間，也就是說一個帶有內積的完備向量空間。是有限維歐幾里得空間的一個推廣，使之不局限於實數的情形和有限的維數，但又不失完備性。序列空間(sequential space)是一類特殊的拓撲空間。

基本介紹

• 中文名：序列空間
• 外文名：sequential space
• 學科：數理科學
• 屬性：特殊的拓撲空間

序列空間定義

更一般的希爾伯特空間都是無窮維的，假設 是一個任意集合，可以定義其上的 序列空間，記為

此空間在定義如下內積後，成為一個希爾伯特空間：

其中 和 是 中的任意元素。在這個定義中， 並非一定要是可數的，在 不可數之情形下， 不是可分（separable）的。在下面更具體的例子中，所有的希爾伯特空間在選定適當的 的情況下，都可以表示成為 的一個同構空間。特別地，當 的時候，可以將其簡單記為 。

常見空間定義

歐幾里得空間

及其上的內積

構成了一個希爾伯特空間，其中短橫線表示一個複數的復共軛。

勒貝格空間

勒貝格空間( 這裡指 空間 )是指定義在測度空間上的函式空間，其中 代表函式的定義域， 的元素是 上的子集族，為 一個 代數，一般把 稱作可測空間(measurable space)，而 是 上的測度。

更仔細的說， ( 簡寫做 ) 表示 上所有平方可積（square-integrable）的複數值的可測函式的集合。平方可積表示該函式的絕對值的平方的積分是有限的。要注意的是在 空間裡，對於幾乎處處( almost everywhere )相同的函式，也就是說如果兩函式只在一個測度為0的集合上不相等，我們把這兩函式當做在 中相同的元素。

此時兩個函式f和g的內積定義為

因為，所以這內積的定義沒有問題。

但需要證明的是：

• 此空間在此內積下是完備的。
  

這個證明可以在相關的書籍中找到，與此例相關的內容可以參看關於空間的著作。

索伯列夫空間

索伯列夫空間一般表示為或者是希爾伯特空間的另一個重要實例，它多被套用於偏微分方程的研究。