冪指函式

冪指函式既像冪函式，又像指數函式，二者的特點兼而有之。作為冪函式，其冪指數確定不變，而冪底數為自變數；相反地，指數函式卻是底數確定不變，而指數為自變數。冪指函式就是冪底數和冪指數同時都為自變數的函式。這種函式的推廣，就是廣義冪指函式。

基本介紹

• 中文名：冪指函式
• 外文名：power-exponential function
• 函式推廣：廣義冪指函式
• 特點：既像冪函式 又像指數函式

定義

冪指函式指數和底數都是變數的函式，形如 是數集）的函式稱為冪指函式，其中 u,v 是 E 上的函式。

當不給出 u(x)與 v(x) 的具體形式時，總要求 。因此，冪指函式可改寫成由 與 複合而成的函式 f(g(x))，從而當 u,v 連續時它連續,u,v 可微時它也可微。

冪指函式既像冪函式，又像指數函式，二者的特點兼而有之。作為冪函式，其冪指數確定不變，而冪底數為自變數；相反地，指數函式卻是底數確定不變，而指數為自變數。冪指函式就是冪底數和冪指數同時都為自變數的函式。這種函式的推廣，就是廣義冪指函式。

具體例子

最簡單的冪指函式就是y=x^x。說簡單，其實並不簡單，因為當你真正深入研究這種函式時，就會發現，在x<0時，函式圖象存在“黑洞”——無數個間斷點，如右圖所示(用虛線表示)。

在x>0時，函式曲線是連續的，並且在x=1/e處取得最小值，約為0.6922，在區間(0，1/e]上單調遞減，而在區間[1/e，+∞)上單調遞增，並過(1,1)點。

圖1.最簡單的冪指函式

此外，從函式y=x^x的圖象可以清楚看出，0的0次方是不存在的。這就是在初等代數中明文規定“任意非零實數的零次冪都等於1，零的任意非零非負次冪都等於零”的真正原因。

函式極限

本段中所有 的記號，表示的是各種可能的趨向，即 *可以是a、a-0、a+0 、∞ 、-∞ 或+∞ 。

一般方法

利用恆等變形（即換底變形） 及複合函式 求極限法則 ，有

待定型

是兩個函式乘積的極限，我們知道若且唯若 和 中有一個等於0，另一個為 時，極限 才是待定型。

所以冪指函式極限 僅有三種待定型： 型、 型、 型。

肯定型

冪指函式的極限 除了上述三種待定型外沒有第四種待定型了。

若 、 ，因為規定l了 ，所以必有 ，則

（1） ，（i） ， ；（ii） ， ；

（2） ， ， ；

（3） ，（i） 為 ， ；（ii） 為為 ， ；

（4） ，（i） 為 ， ；（ii） 為為 ， ；

（5） 為+ ，（i） 或 ， ；（ii） 或 ， 。

典例分析

（1）求 ，

解 這個極限式“ 型”待定型，先求 ，所以

（2）求 ，

解這個極限式是“ 型”待定型，先求 ，其中

利用等價無窮小關係公式 可作等價無窮小代換 ，即可得

所以 。

（3）求

解 這個極限式是“ 型”待定型，先求 待定型 ，根據洛必達法則可得

所以 。

注 本題也可以等價無窮大替代，或經過放大縮小 後再用夾逼準則計算。

（4）求 。

解這個極限式是“ 型”待定型，先計算 ，由於 ，可知 是 時的無窮小量，利用等價無窮小關係 ，可得

所以 。

注 （1）這裡“ 型”待定型中不能先把“底的極限1”先算出來，錯成 。

（2）解這種問題時除了使用洛必達法則外，經常會用到等價無窮小替代及換元方法。

求導方法

下面給出一般冪指函式的求導方法。為書寫方便，把f(x)和g(x)分別用f和g代替，即

指數求導法

由於冪指函式定義中f(x)>0，因此可以利用對數的性質將函式改寫。 ，再對指數函式進行求導。

對數求導法

這種方法是在兩邊取對數，再利用隱函式的求導法則求出y‘。

多元複合函式求導法

根據一元與多元函式複合的求導法則， 的導數為