在冪指函式y=x^x=x^^2的基礎上，繼續y=x^^x=x^^^2拓展得到的函式體系。
基本介紹
- 中文名：廣義冪指函式
- 外文名：CuiMa
- 性質：函式
- 特徵：拓展冪指函式得到的函式體系
- 優點：y=x^x=x^^2
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引入
連續相同加數的加法簡寫成乘法，比如5+5+5=5×3；6+6+6+6+6=6×5。
連續相同乘數的乘法簡寫成冪函式，比如5×5×5=5^3；6×6×6×6×6=6^5。
那么，連續相同冪指函式的簡寫呢？比如5^(5^5)？比如6^(6^(6^(6^6)))？能不能繼續推廣？
可以繼續推廣，且相同的底數和指數的冪指函式可以簡寫為新的函式：
x^x=x^^2 ,這裡的“2”指的是有兩個x進行“^"運算，依次類推，x^(x^x)=x^^3 , x^(x^(x^x))=x^^4…… 那么，上述的5^(5^5)=5^^3；6^(6^(6^(6^6)))=6^^5。
那么，能不能繼續推廣？
繼續形式上推廣，即可得：
x^^x=x^^^2 , x^^(x^^x)=x^^^3，x^^(xx^^(x^^x))=x^^^4……
x^^^x=x^^^^2，x^^^(x^^^x)=x^^^^3，x^^^(x^^^(x^^^x))=x^^^^4……
這裡用“^”個數的不同，來區別簡寫的層次，“^”的個數稱為“階數”，後面的數字是次數。
為了降低高階高次書寫的繁瑣，用CuiMaP(bx，ix，cx，px)表示上述運算，其中bx是重複的底數（代碼b，上文中的x），ix是重複的次數稱指數（代碼i，上文中的N），cx是“^”的個數稱階數（代碼c），運算的值px稱為冪數（代碼p）。另一個建議的寫法是底數寫在左邊，指數寫在右上角，階數寫在右下角。
但是，這種定性的描述的缺點是：指數、底數、階數是正自然數的時候是便於理解的，至於當有的數不是正自然數的時候，就不那么顯然甚至是無定義的了。
定義
滿足以下條件的函式CuiMaP(bx，ix，cx，py)為cui冪函式（也稱為廣義冪函式）：
(1) CuiMaP(bx，ix，cx=1，py)=bx^ix；
(2) CuiMaP(bx，ix，cx，py2)=CuiMaP(bx，CuiMa(bx，ix-1，cx，py1)，cx，py2);
(3) CuiMaP(bx，2，cx，py)=CuiMaP(bx，bx，cx-1，py)；
其中，（1）給出了CuiMaP函式和冪指函式的關係，（2）和（3）是遞推公式：（2）給出了同階高次到低次的轉化公式，（3）給出了高階到低階的轉化公式。
定義
在函式CuiMa(bx，ix，cx，px)中，以任意兩個為常數、一個A為自變數、另一個B為因變數的函式，稱為CuiMaBA函式。比如，以底數、指數為常數，以冪值為自變數、階數為因變數的函式稱為CuiCp函式。
假設
為了運算比如CuiMaP(256，0.5，2，py3)和CuiMaP（256，0.75，2，py4）之類的分數底數、指數，引入如下假設：
CuiMaP(CuiMaP(bx，ix，cx，py1)，1/ix，cx，py2)中某個bx=py2成立。
套用
求解上述py3和py4的過程如下：
因為4^4=256，所以CuiMaP(256，0.5，2，py3)中py3=4；
因為CuiMa(2，3，2，16)，根據假設，所以CuiMa(16，1/3，2，2)，根據定義，得CuiMa(16，4/3，2，256)，再根據假設，所以CuiMa(256，3/4，2，16)成立。
研究展望
1）用廣義冪指函式表示超越數
利用 a^^b 其中a、b為有理數表示pi、e之類的超越數。因為b=3時 a^(a^a) 中，a為不為0、1的有理數，a^a 為無理代數數，所以 a^(a^a) 根據 格爾豐德-施耐德定理，為超越數。
2）下一步對CuiMa的研究
如何把研究對象擴展到實數乃至複數域，如何把階數拓展到實數域，是下一個研究方向。
3）對代數基本定理的啟示
