復立體

復立體是在廣義冪指函式角度下的複平面理論。

基本介紹

• 中文名：復立體
• 外文名：CuiGe
• 概述 ：廣義冪指函式角度下拓展複平面
• 定義：用三個維度擴展複平面
• 復立體討論：w^z=exp(z*Lnw)

概述

復立體是在廣義冪指函式角度下的複平面理論。

復立體定義

如左圖所示，在三維空間中存在實軸。在實軸的原點處作垂面1定義為虛面。在虛面上作單位圓定義為虛圓。從虛圓圓上選取某特定的一個直徑和實軸組成面2定義為標準複平面。虛圓上其他直徑和實軸組成非標準複平面。

復立體附圖

虛圓上的點即由-1所有二次方根組成。選定的直徑為i∠(0)和i∠(-1)（定義見後，前者即為i，後者即為-i）。

無論標準複平面還是非標準複平面，其面內皆可以進行加減等運算。同時，標準複平面就是現有的複平面，

目前的複平面理論皆適用。

任何復立體中的點，都可以用一個從原點出發的矢量（稱為復立體矢量）表示，這種矢量不同於(i,j,k)矢量。

這個時候，任何復立體中的點，都表示為a×1+b×ix。其中，b×ix為廣義虛數，ix形式為i∠(x)。

復立體討論

根據公式

w^z=exp(z*Lnw)

=exp{z*[i*(arg(w)+2kπ)+ln|w|]}，得到：

i^i和(-i)^(-i)均為exp[(π/2)+2kπ]。

Exp[(π/2)+2kπ]是個多等式，起因是Lnw多值引起。但是，換個角度，也可以認為i值多值引起，即假定定義某個ix，是現有複數i的一個元素，對應於Exp{-[(π/2)+2kπ]}的某個k。不同的ix對應不同的k值。用i∠(x)括弧中的數字來區分各個解。由於π/2並非唯一候選值，故括弧中的數字為對應於π/2時候的k。

這樣，-1即有無窮二次方根。從上面的復立體角度看，就是這些根均位於同一個平面上。

意義

復立體推廣了複平面理論，並指出代數基本定理需要推廣。