複合函式微分法

多元函式微分學是數學分析領域的重要內容。在多元函式微分學中，主要討論的是多元函式的可微性及其套用，而二元函式的可微性則是多元函式可微性研究的重點。複合函式微分法則是二元函式可微性的進一步研究。

基本介紹

• 中文名：複合函式微分法
• 外文名：Compound function differential method
• 學科：數學
• 領域範圍：多元函式微分學

複合函式的求導法則

設函式

定義在 平面的區域 上，函式

定義在 平面的區域 上，且

則函式

是以（2）為外函式，（1）為內函式的複合函式。其中 稱為函式 的中間變數， 為 的自變數。

定理1

若函式 在點 可微， 在點 可微，則複合函式

在點 可微，且它關於 與 的偏導數分別為

上述兩個公式也稱為鏈式法則。

注意

如果只是求複合函式 關於 或 的偏導數，則定理1中 和 只需具有關於 或 的偏導數就夠了。但是對外函式 的可微性假設是不能省略的，否則上述複合函式求導公式不一定成立。如函式

直接計算可知 ，但 在 處不可微。若以 為外函式， 為內函式，則得以 為自變數的複合函式

所以 。這是若用鏈式法則，將得出錯誤的結果

這個例子說明在使用複合函式求導公式時，必須注意外函式 可微這一重要條件。

複合函式的全微分

若以 和 為自變數的函式 可微，則其全微分為

如果 作為中間變數又是自變數 的可微函式

則由定理1知道，複合函式 是可微的，其全微分為

由於 又是 的可微函式，因此同時有