關於函式的複合運算

關於函式的複合運算

關於函式的複合運算複合函式,是按一定次序把有限個函式合成得到的函式,對兩個函式f:A關於函式的複合運算→B,g:B→C,由h(x)=g(f(x))(x∈A)確定的函式h稱為f與g的複合函式,記為g°f,這樣,g°f是A到C的函式,(g°f)(x)=g(f(x)),它的值域是g(f(A)),記號“°”表示兩個函式的複合,它是二元運算.這個運算不滿足交換律,即一般來說g°f≠f°g,但它滿足結合律:對f:A→B,g:B→C,h:C→D,有h°(g°f)=(h°g)°f,於是可以定義h°g°f=h°(g°f)=(h°g)°f,一般地,對n+1個滿足Bi⊆Ai+1(i=1,2,…,n)的函式fi:Ai→Bi(i=1,2,…,n+1)可以定義n重複合函式fn+1°f°f1,任給兩個函式f:A→B,g:C→D,若且唯若f(A)⊆C時可以得到複合函式g°f:A→D;若且唯若g(C)⊆A時可以得到f°g:C→B,當函式用變數表示為t=f(x),y=g(t),且f的值域含於g的定義域時,稱t為複合函式y=g(f(x))的中間變數,函式的複合是研究函式的一種工具,一方面它提供了構造各式各樣的新函式的方法;另一方面,為研究複雜的函式,常將它們看成一些簡單函式的複合(求函式的導數時常這樣做)。

基本介紹

  • 中文名:關於函式的複合運算
  • 所屬學科:數學
  • 別稱:複合函式
  • 相關概念:定義域,值域
定義,複合函式的定義域與值域,相關定理,

定義

設有定義在由集合A到集合B的函式
和定義在集合B到集合C上的函式
,則
的複合函式是一個由集合A到集合C的函式,記為
(或記為
)。
對於任意一個元素
,有
,也就是說,如果
在函式
作用下的像,並且
是元素b在函式
作用下的像,那么集合C中的元素c就是
在複合函式
作用下的像。

複合函式的定義域與值域

在上述複合函式的定義中,要求函式
的值域包與函式g的定義域相等。實際上,對該條件可以適當放寬,即只要求函式
的值域
是函式g的定義域的子集就可以了。也就是說.若有函式
和函式
,並且有f(A)是集合C的子集,則同樣可以定義一個由集合A到集合D的複合函式g·f。但是,如果
不是集合C的子集,那么,複合函式
就沒有意義了。因此,在上述定義的條件下,儘管複合函式
有意義,但是
不一定有意義,即使
都有意義,二者也不一定相等。
例1 設集合
,集合
,集合
,定義在集合A到集合B上的函式
,定義在集合B到集合C上的函式
,求複合函式
根據複合函式的定義不難求出
例2設集合
,並且在由集合A到A自身上定義兩個函式
和函式
求複合函式
解:根據複合函式的定義有:
由於函式的複合運算是關係的複合運算的一種特殊情形,因此關係的複合運算中成立的性質,對於函式的複合運算也是成立的。例如,對於任意一個函式
,有
。又例如,設有三個函式
,根據定義不難看出,這些函式可以構成複合函式
,進而可以構成複合函式
,可以看出,這兩個複合函式都是由集合A到集合D的函式。又由於關係的複合運算滿足結合律,因此,函式的複合運算也滿足結合律,因此,可以得出以下定理。

相關定理

定理1 設對於任意給定的三個函式
,則有
定義 設有定義在集合A到A自身的函式
,且
,則稱函式
冪等函式。例如,定義在正整數集的冪集上的函式
,將其定義為
,則根據函式
的定義,對於任意一個
為S中所有的素數組成的集合,記為
。而又由於
,所以
,因此這裡定義的函式
是一個冪等函式。
如果函式
是冪等函式,那么對於所有的正整數n≥1,都有
定理 設有函式
和函式
,那么:
(1) 如果
都是單射函式,則複合函式
也是單射函式;
(2) 如果
都是滿射函式,則複合函式
也是滿射函式;
(3) 如果
都是雙射函式,則複合函式
也是雙射函式。
定理 設有函式
和函式
,那么:
(1) 如果複合函式
是單射函式,則函式
是單射函式;
(2) 如果複合函式
是滿射函式,則函式g是滿射函式;
(3) 如果複合函式
是雙射函式,則函式
是雙射函式,函式g是滿射函式。

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