奇函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相同的單調性，即已知是奇函式，它在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上也是增函式（減函式）；偶函式在其對稱區間[a,b]和[-b，-a]上具有相反的單調性，即已知是偶函式且在區間[a,b]上是增函式（減函式），則在區間[-b，-a]上是減函式（增函式）。但由單調性不能代表其奇偶性。驗證奇偶性的前提要求函式的定義域必須關於原點對稱。
基本介紹
- 中文名：函式奇偶性（奇函式，偶函式）
- 外文名：Even function / Odd function
- 特性1：偶函式：關於y軸對稱
- 特性2：奇函式：關於原點對稱
定義,特徵,概述,奇函式,偶函式,證明方法,性質,要點詮釋,常用結論,
定義
一般地，對於函式
⑶如果對於函式定義域內的任意一個x，都有
和
，（x∈R，且R關於原點對稱.）那么函式既是奇函式又是偶函式，稱為既奇又偶函式。
特殊的，
既是奇函式，又是偶函式。
說明：①奇、偶性是函式的整體性質，對整個定義域而言。
②奇、偶函式的定義域一定關於原點對稱，如果一個函式的定義域不關於原點對稱，則這個函式一定不具有奇偶性。
（分析：判斷函式的奇偶性，首先是檢驗其定義域是否關於原點對稱，然後再嚴格按照奇、偶性的定義經過化簡、整理、再與比較得出結論）
③判斷或證明函式是否具有奇偶性的根據是定義。
④如果一個奇函式在x=0處有意義，則這個函式在x=0處的函式值一定為0。並且關於原點對稱。
⑤如果函式定義域不是關於原點對稱或不符合奇函式、偶函式的條件則叫做非奇非偶函式。例如
[
]或[
]（定義域不關於原點對稱）
⑥如果函式既符合奇函式又符合偶函式，則叫做既奇又偶函式。例如
註：任意常函式（定義域關於原點對稱）均為偶函式，只有是既奇又偶函式
特徵
概述
偶函式：若對於定義域內的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函式。
奇函式：若對於定義域內的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函式。
定理奇函式的圖像關於原點成中心對稱圖表，偶函式的圖象關於y軸成軸對稱圖形。
f(x)為奇函式《==》f(x)的圖像關於原點對稱
點（x，y）→（-x，-y）
奇函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
偶函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上單調遞減。
奇函式
奇函式定理 奇函式圖象關於原點成中心對稱圖形
f(x）為奇函式<=>f(x）的圖象關於原點對稱，如圖：
奇函式在某一區間上單調遞增，則在它的對稱區間上也是單調遞增。
點（x,y）→（-x,-y）
奇函式圖像關於原點對稱
偶函式
偶函式定理 偶函式的圖象關於y軸成軸對稱圖形
f(x）為偶函式<=>f(x）的圖象關於Y軸對稱，如圖
點（x,y）→（-x,y）
偶函式在某一區間上單調遞減，則在它的對稱區間上單調遞增。
偶函式關於Y軸對稱
證明方法
1、利用奇偶函式的定義來判斷（這是最基本，最常用的方法）定義：如果對於函式y=f（x）的定義域A內的任意一個值x，都有f（-x）=-f（x）則這個函式叫做奇函式f（-x）=f（x），則這個函式叫做偶函式
2、用求和（差）法判斷：
若f（x）-f（-x）=2f（x），則f（x）為奇函式。
若f（x）+f（-x）=2f（x），則f（x）為偶函式。
3、用求商法判斷
若
=-1,（f（x）≠0）則f（x）為奇函式
若
=1,（f（x）≠0）則f（x）為偶函式
性質
1、大部分偶函式沒有反函式（因為大部分偶函式在整個定義域內非單調函式）。
2、偶函式在定義域內關於y軸對稱的兩個區間上單調性相反，奇函式在定義域內關於原點對稱的兩個區間上單調性相同。
3、奇±奇=奇（可能為既奇又偶函式） 偶±偶=偶（可能為既奇又偶函式） 奇X奇=偶 偶X偶=偶 奇X偶=奇（兩函式定義域要關於原點對稱）.
4、對於F（x）=f[g(x)]：
若g(x）是偶函式且f（x）是偶函式，則F[x]是偶函式。
若g(x) 是偶函式且f（x）是奇函式，則F[x]是偶函式。
若g(x）是奇函式且f(x）是奇函式，則F[x]是奇函式。
若g(x）是奇函式且f(x）是偶函式，則F[x]是偶函式。
5、奇函式與偶函式的定義域必須關於原點對稱。
要點詮釋
[1]奇偶性是整體性質；
[2]x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？----具有奇偶性的函式，其定義域必定是關於原點對稱的；
[3]f(-x)=f(x)的等價形式為：f(x)-f(-x)=0，
（f（x）≠0）
f(-x)=-f(x)的等價形式為：f(x)+f(-x)=0；
（f（x）≠0）
[4]由定義不難得出若一個函式是奇函式且在原點有定義，則必有f(0)=0；
[5]既是奇函式，又是偶函式的函式有無數個，只要f（x）=0，且定義域關於原點對稱即可
常用結論
偶函式在對稱的單調區間內有相反的單調性
（2）若f（x-a）為奇函式，則f（x）的圖像關於點（a，0）對稱
若f（x-a）為偶函式，則f（x）的圖像關於直線x=a對稱
（3）在f（x），g（x）的公共定義域上：奇函式±奇函式=奇函式
偶函式±偶函式=偶函式
奇函式×奇函式=偶函式
偶函式×偶函式=偶函式
奇函式×偶函式=奇函式
上述奇偶函式乘法規律可總結為：同偶異奇
