超越式

超越式是非代數式的解析式，指不能對變數字母和數用有限次加、減、乘、除、乘方、開方運算表示的解析式。它包括無理數指數式、對數式、三角函式式、反三角函式式、雙曲函式式、冪指函式式等。

基本介紹

• 中文名：超越式
• 外文名：transcendental expression
• 適用範圍：數理科學

定義

初等數學運算分為初等代數運算和初等超越運算。一類是初等代數運算，包括加、減、乘、除、正整數次乘方、開方、有理數次乘方；另一類是初等超越運算，初等超越運算，包括無理數次乘方、指數、對數、三角、反三角等運算。根據運算不同，解析式分為兩大類。

對字母只進行初等代數運算的解析式稱為代數式，如2x²-3xy+y²等都是代數式。

對字母進行了有限次初等超越運算的解析式，稱為初等超越式，簡稱超越式，如：ln2x、sin(lgx+x)等，都是超越式。

超越方程

超越方程是包含超越函式的方程，也就是方程中有無法用自變數的多項式或開方表示的函式，與超越方程相對的是代數方程。超越方程的求解無法利用代數幾何來進行。大部分的超越方程求解沒有一般的公式，也很難求得解析解。

當一元方程ƒ(z)=0的左端函式ƒ(z)不是z的多項式時，稱之為超越方程。如指數方程、對數方程、三角方程、反三角方程等。

具有未知量的對數函式、指數函式、三角函式、反三角函式等的方程。例如2^x=x+1，sin x+x=0。

超越數

超越數的存在是由法國數學家劉維爾（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早證明的。關於超越數的存在，劉維爾寫出了下面這樣一個無限小數：a=0.110001000000000000000001000…（a=1/10^1!+1/10^2!+1/10^3!+…），並且證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程，由此證明了它不是一個代數數，而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數，所以把數a稱為劉維爾數。