劉維爾數

超越數的存在是由法國數學家劉維爾(Joseph Liouville,1809—1882)在1844年最早證明的。關於超越數的存在,劉維爾寫出了下面這樣一個常數:a=0.110001000000000000000001000…,該常數是一個無限小數,劉維爾證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程,由此證明了它不是一個代數數,而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數,所以把數a稱為劉維爾數。

基本介紹

  • 中文名:劉維爾數
  • 外文名:Liouville number
  • 領域:數學
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定義

如果一個實數
滿足,對任意正整數
,存在整數
,其中
就把
叫做劉維爾數
劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數,第一次說明了超越數的存在。

基本性質

容易證明,劉維爾數一定是無理數。若不然,則
。 取足夠大的
使
,在
時有
與定義矛盾。

劉維爾常數

這是一個劉維爾數。取
那么對於所有正整數

超越性

概述

所有劉維爾數都是超越數,但反過來並不對。例如,著名的e和
就不是劉維爾數。實際上,有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

證明

劉維爾定理:若無理數
代數數,即整係數
次多項式
的根,那么存在實數
,對於所有
證明:令
,記
的其它的不重複的根為
,取這樣的A
如果存在使定理不成立的
,就有
那么,
拉格朗日中值定理,存在
之間的
使得
是多項式,所以
由於
矛盾。
證明劉維爾數是超越數:有劉維爾數
,它是無理數,如果它是代數數則
取滿足
的正整數
,並令
,存在整數
,其中
,有
與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。

參見

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