狄利克雷逆

狄利克雷逆(Dirichlet inverse)是數論函式的重要運算之一，即狄利克雷乘積的逆運算。設f(n)為數論函式，若存在數論函式g(n)，使得f*g=I，則稱g(n)為f(n)的狄利克雷逆，或簡稱逆，記為f^-1(n)=g(n)。

基本介紹

• 中文名：狄利克雷逆
• 外文名：Dirichlet inverse
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等數論(數論函式) 
• 簡介：狄利克雷乘積的逆運算

基本介紹

設f(n)為數論函式，若存在數論函式g(n)，使得f*g=I，則稱g(n)為f(n)的狄利克雷逆，或簡稱逆，記為f^-1(n)=g(n)。例如，μ*U=I，故U(n)的逆μ^-1(n)=U(n)≡1。反之，U(n)≡1的逆U^-1(n)=μ(n)，從定義及交換律可知，若g為f的逆，則f亦為g的逆，即若g=f^-1，則f=g^-1。

狄利克雷逆的性質

狄利克雷逆有下述性質：

1.若數論函式f(n)滿足f(1)≠0，則存在惟一的逆f^-1(n)，且滿足

f^-1(1)=1/f(1)，

故知積性函式f必有逆f^-1，且f^-1仍為積性函式。

2.若數論函式f(n)，g(n)滿足f(1)≠0，g(1)≠0，則(f*g)^-1=f^-1*g^-1。

3.若f(n)為積性函式，則f(n)為完全積性函式的充分必要條件是f^-1(n)=μ(n)f(n)。特別地，當g(n)為完全積性函式，且h=f*g時，有f=h*μg。

重要的狄利克雷逆

重要的狄利克雷逆有：

設，則

特別地，當λ=0或1時，得到

及

2.設φ(n)為歐拉函式，則.

3.默比烏斯函式μ(n)的逆μ^-1(n)=U(n)≡1。

4.劉維爾函式λ(n)的逆λ^-1(n)=μ(n)λ(n)。

5.設g(n)=λ*U=，則