拉格朗日中值定理

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函式在閉區間上的整體的平均變化率與區間內某點的局部變化率的關係。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

法國數學家拉格朗日於1797年在其著作《解析函式論》的第六章提出了該定理，並進行了初步證明，因此人們將該定理命名為拉格朗日中值定理。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日中值定理
• 外文名：Lagrange Mean Value Theorem
• 別稱：有限增量定理
• 表達式：f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)(a<ξ<b）
• 提出者：拉格朗日
• 提出時間：1797年
• 套用學科：高等數學
• 適用領域範圍：微分學
• 適用領域範圍：高等數學

定律定義

定理表述

如果函式f(x)滿足：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)內可導；

那么在開區間(a,b)內至少有一點 使等式 成立。

其他形式

記 ,令 ,則有

上式稱為有限增量公式。

我們知道函式的微分 是函式的增量Δy的近似表達式，一般情況下只有當|Δx|很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；而有限增量公式卻給出了當自變數x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）時，函式增量Δy的準確表達式，這就是該公式的價值所在。

驗證推導

輔助函式法：

已知 在 上連續，在開區間 內可導，

構造輔助函式

可得g(a)=g(b)又因為 在 上連續，在開區間 內可導，

所以根據羅爾定理可得必有一點 使得

由此可得

變形得

定理證畢。

定理推廣

推論

如果函式 在區間 上的導數 恆為零，那么函式 在區間 上是一個常數。

證明

在區間 上任取兩點 由拉格朗日中值定理得

由於已知 即

因為 是區間 上的任意兩點，所以 在區間 上的函式值總是相等的，

即函式在區間上是一個常數。

推廣

如果函式 在開區間 內可導且 與 都存在

令 ，

則在開區間 內至少存在一點 使得

有限增量公式的θ

拉格朗日中值定理有一個變形，即所謂的有限增量公式：f(x0+Δx)-f(x0)=f'(x0+θΔx)Δx，0<θ<1。其中的 有一個很重要的性質：

若 在 點連續，且 ，則

證明 由於f''(x)在 點連續，所以有

（1） ；

（2） 。

將（1）和（2）同時代入有限增量公式，可得 ，，利用f"(x)在x0點處的連續性及f"(x0)≠0，在等式兩邊同取極限（令），即可得結論。

導函式連續定理

證明導函式連續定理：

若函式f(x)在x₀的某鄰域 內連續，在 內可導，且 存在，則f(x)在x₀處可導，並且有 。

解析：該定理給出了導函式連續的一個充分條件。（注意：必要性不成立，即函式在某點可導，不能推出導函式在該點連續，因為該點還可能是導函式的振盪間斷點。）我們知道，函式在某一點的極限不一定等於該點處的函式值；但如果這個函式是某個函式的導函式，則只要這個函式在某點有極限，那么這個極限就等於函式在該點的取值。

證明：由導數的定義可知，函式在某點可導的充要條件是函式在該點的左右導數相等，因此分別來研究左右導數。

右導數：任取 ，顯然 在區間 上滿足定理使用條件。

∴

當 時，有 ，對上式兩邊取極限，得：

即：

上式左邊是 在 處的右導數，右邊是導函式 在 處的右極限。

同理，有

上式左邊是 在 處的左導數，右邊是導函式 在 處的左極限。

∵ 存在

∴

∴

∴f(x)在x₀處可導，並且

由該定理立即可得出一個推論：如果函式在某個區間上可導，那么導函式在該區間上不存在第一類間斷點。換句話說，如果一個函式在某個區間上存在第一類間斷點，那么它在該區間上沒有原函式。

發展簡史

人們對拉格朗日中值定理的認識可以上溯到公元前古希臘時代。古希臘數學家在幾何研究中得到如下結論：“過拋物線弓形的頂點的切線必平行於拋物線弓形的底”。這正是拉格朗日定理的特殊情況，古希臘數學家阿基米德正是巧妙地利用這一結論，求出拋物弓形的面積.。

義大利卡瓦列里在《不可分量幾何學》(1635年)的卷一中給出處理平面和立體圖形切線的有趣引理，其中引理3基於幾何的觀點也敘述了同樣一個事實：曲線段上必有一點的切線平行於曲線的弦。這是幾何形式的微分中值定理，被人們稱為卡瓦列里定理。該定理是拉格朗日中值定理在幾何學中的表達形式。

1797年，法國數學家拉格朗日在《解析函式論》一書中首先給出了拉格朗日定理，他給出的定理的最初形式是：“函式 在 與 之間連續， 在 與 之間有最小值 與最大值 ，則 必取 與 之間的一個值。”拉格朗日給出最初的證明，但證明並不嚴格，他給的條件比現在的條件要強，他要求函式 在閉區間上具有連續導數 ，並且他所用的連續也是直觀的，而不是抽象的。

十九世紀初，在微積分嚴格化運動中，柯西給出了拉格朗日中值定理的嚴格證明，在《無窮小計算教程概論》中，柯西證明了”如果導數 在閉區間 上連續，則必存在一點 ，使得 。 ”柯西又在《微分計算教程》中將拉格朗日中值定理推廣為柯西中值定理。

現代形式的拉格朗日中值定理是由法國數學家博（O.Bonnet）給出的，他不是利用導數 的連續性，而是利用羅爾定理對拉格朗日中值定理進行了重新證明。

意義

拉格朗日中值定理是微分中值定理的核心，其他中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況和推廣，它是微分學套用的橋樑，在理論和實際中具有極高的研究價值。

幾何意義

若連續曲線 在 兩點間的每一點處都有不垂直於x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點 ，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。

運動學意義

對於曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等於這個過程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，並研究泰勒公式的餘項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函式的重要工具和微分學的重要組成部分。

拉格朗日

法國數學家。1754年開始研究數學，1766年接替了歐拉在柏林皇家科學院的職位，在那裡工作達20年。1786年去法國，先後擔任巴黎高等師範學校和多科工藝學校教授。他是18世紀僅次於歐拉的大數學家，工作涉及數論、代數方程論、微積分、微分方程、變分法、力學、天文學等許多領域。在數學上，他最早的重要貢獻是1859年解決了等周問題，從而開創了變分問題分析形式的一般解法。1766～1787年是他科學研究的多產時期，1766～1773年，他在數論方面做了一系列研究，1766年證明了所謂佩爾(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年證明費馬的著名命題，每個正整數可表為至多4個平方數之和；1771年證明了著名的所謂威爾遜 (Wilson) 定理; 1773年關於整數的型表示問題獲得關鍵性成果。1767～1777年，他又系統地研究了代數方程論，引入對稱多項式理論，置換理論及預解式概念，指出根的排列理論是整個問題的真諦，對後來伽羅華的工作產生了重要影響。在這期間，他還在微積分、微分方程、力學、天文學領域廣泛開展研究，導致了他的兩部不朽巨著 《分析力學》 (1788)、《微分原理中的解析函式論》(1797)。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日餘項、拉格朗日方程，對黎卡提方程的重要研究，對線性微分方程組的研究，對奇解與通解的聯繫的系統研究，都是這一時期的工作。他也是最先試圖為微積分提供嚴格基礎的數學家之一，這使他成為實變函式論的先驅。他還以在數學上追求簡明與嚴格而被譽為第1個真正的分析學家。拿破崙曾評價說：“拉格朗日是數學科學方面高聳的金字塔。”