拉格朗日投影

拉格朗日投影又稱“雙圓投影”。等角多圓錐投影中的一種。由法國數學家拉格朗日（1736～1813）於1779年提出，故名。赤道與中央經線均為直線並且正交，經線與緯線均為同軸圓的圓弧，其圓心位於中央經線與赤道的延長線上。

基本介紹

• 中文名：拉格朗日投影
• 外文名：Lagrange's projection
• 領域：測繪學
• 別稱：雙圓投影
• 性質：等角多圓錐投影
• 提出者：拉格朗日

概念

又稱“雙圓投影”。等角多圓錐投影中的一種。由法國數學家拉格朗日（1736～1813）於1779年提出，故名。赤道與中央經線均為直線並且正交，經線與緯線均為同軸圓的圓弧，其圓心位於中央經線與赤道的延長線上。這種投影圖上的面積變形，在中央部分較小，而向四周明顯擴大。

地圖投影

按照一定的數學法則將地球橢球面上的經緯線轉移到平面上的方法。也就是使地球橢球面上各點的地理坐標與平面上各點的直角坐標(或極坐標)保持一定的函式關係。地球橢球面是曲面，而地圖是繪製在平面上，因此製圖時首先要把曲面展為平面。然而地球橢球面是個不可展的曲面，假如把它直接展為平面，必然發生破裂或褶皺，用這種具有破裂或褶皺的平面繪製地圖，顯然是不實用的。所以必須採用數學方法將曲面展為平面，以保持平面上圖形的完整和連續。地圖投影方法很多，但不論採用什麼投影方法所得到的經緯線網形狀都不可能與地球橢球面上的經緯線網形狀完全相似。這表明投影之後地圖上的經緯線網發生了變形，因而根據地理坐標展繪在地圖上的各種地理事物也必然隨之產生變形。變形主要表現在三個方面： 長度變形、面積變形和角度變形。變形是不可避免的，但若給予一定的條件，如等角條件，等積條件，則可使其中某種變形等於零，用以滿足不同用途對地圖投影的要求。按變形性質地圖投影可分為三類： 等角投影、等積投影和任意投影(包括等距投影)。

地圖投影最初建立在透視的幾何原理上，它是把地球橢球面直接透視到平面上，或透視到可展為平面的曲面上，如圓柱面和圓錐面。這樣就得到具有幾何意義的方位、圓柱和圓錐投影。隨著科學的發展，為了使地圖上變形儘量減小，或者為了使地圖滿足某些特定要求，地圖投影逐漸跳出了原來藉助幾何面構成投影的框子，而產生了一系列按照數學條件構成的投影。按照構成方法可以把地圖投影分為兩大類： 幾何投影和非幾何投影。幾何投影是把地球橢球面上的經緯線投影到幾何面上，然後將幾何面展為平面而成的。根據幾何面的形狀可以分為方位投影、圓柱投影和圓錐投影。非幾何投影是不藉助於幾何面，根據某些條件用數學解析法確定地球橢球面與平面之間點與點的函式關係。在這類投影中，一般按經緯線形狀又分為偽方位投影、偽圓柱投影、偽圓錐投影和多圓錐投影。

圓錐投影

以圓錐面作為投影面，使圓錐面與地球面相切或相割，將地球面上的經緯線投影到圓錐面上，然後把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成。由於圓錐面與地球面相切或相割的位置不同，有正軸圓錐投影、橫軸圓錐投影和斜軸圓錐投影。正軸圓錐投影是在投影時使圓錐的軸與地軸重合。投影后的經緯線形狀比較簡單，稱為標準網。緯線為以圓錐頂點為圓心的同心圓弧，經線為由圓錐頂點向外放射的直線束，經線間的夾角小於相應的經度差。設地球面上兩條經線的夾角為λ，投影在平面上為δ，則δ=cλ(c—圓錐常數)。緯線半徑ρ隨緯度φ而變化，即ρ是緯度φ的函式，一般用ρ=f(φ)式表達。故正軸圓錐投影的一般公式為：ρ=f(φ)，δ=cλ，圓錐常數c與圓錐的切、割位置等條件有關。對於不同的圓錐投影，它是不同的。但對於某一個具體的圓錐投影，C值是固定的。總的說來，C值小於1，大於0，即0<C<1。當C=1時，δ=λ，圓錐頂角為360°，圓錐面變成了平面，就是方位投影了。如果C=0，圓錐頂角為0°，經線成為平行直線，這就成為圓柱投影了。所以可以說方位投影和圓柱投影都是圓錐投影的特例。

由於ρ的函式形式不同，圓錐投影有等角圓錐投影、等積圓錐投影和任意(包括等距)圓錐投影，每一種中都有切圓錐投影和割圓錐投影。不論哪一種圓錐投影變形分布規律都是相同的。凡是切圓錐投影，相切的緯線是一條沒有變形的線，稱為標準緯線。從標準緯線向南、向北變形逐漸增大。凡是割圓錐投影，相割的兩條緯線沒有變形，是兩條標準緯線。離開標準緯線愈遠，變形愈大。等變形線與緯線平行，呈同心圓弧狀分布。

圓錐投影適合於繪製中緯度沿東西方向延伸地區的地圖。由於地球上廣大陸地位於中緯度地區，圓錐投影經緯線形狀又比較簡單，所以它被廣泛套用於編制各種比例尺地圖。

等角投影

投影面上某點的任意兩方向線夾角與地球橢球面上相應線段的夾角相等。即角度變形等於零。為了保持等角條件，必須使經緯線正交，某點上經線長度比與緯線長度比相等，即θ=90°，m=n。θ——經緯線交角，m——經線長度比，n——緯線長度比。在這類投影圖上，小範圍內圖上圖形與實地相似，故又稱為正形投影。其長度比在一點上不隨方向的改變而改變，但在不同地點，長度比數量是不同的，因此從大範圍來說，圖上圖形與實地並不相似。由於這類投影沒有角度變形，多用於編制對方向精度要求高的航海圖、航空圖、洋流圖、風向圖和軍用地圖等。

拉格朗日

法國數學家。1754年開始研究數學，1766年接替了歐拉在柏林皇家科學院的職位，在那裡工作達20年。1786年去法國，先後擔任巴黎高等師範學校和多科工藝學校教授。他是18世紀僅次於歐拉的大數學家，工作涉及數論、代數方程論、微積分、微分方程、變分法、力學、天文學等許多領域。在數學上，他最早的重要貢獻是1859年解決了等周問題，從而開創了變分問題分析形式的一般解法。1766～1787年是他科學研究的多產時期，1766～1773年，他在數論方面做了一系列研究，1766年證明了所謂佩爾(Pell)方程(x-Ay=1)的解的存在性，1770年證明費馬的著名命題，每個正整數可表為至多4個平方數之和；1771年證明了著名的所謂威爾遜 (Wilson) 定理；1773年關於整數的型表示問題獲得關鍵性成果。1767～1777年，他又系統地研究了代數方程論，引入對稱多項式理論，置換理論及預解式概念，指出根的排列理論是整個問題的真諦，對後來伽羅華的工作產生了重要影響。在這期間，他還在微積分、微分方程、力學、天文學領域廣泛開展研究，導致了他的兩部不朽巨著 《分析力學》 (1788)、《微分原理中的解析函式論》(1797)。著名的拉格朗日中值定理、拉格朗日餘項、拉格朗日方程，對黎卡提方程的重要研究，對線性微分方程組的研究，對奇解與通解的聯繫的系統研究，都是這一時期的工作。他也是最先試圖為微積分提供嚴格基礎的數學家之一，這使他成為實變函式論的先驅。他還以在數學上追求簡明與嚴格而被譽為第1個真正的分析學家。拿破崙曾評價說：“拉格朗日是數學科學方面高聳的金字塔。”