ZF公理系統

ZF公理系統，提出者是Cantor、策梅洛，適用領域範圍：集合論。在集合論創建的初期，Cantor是以所謂“樸素”的觀點來看待集合的，他建立了廣泛而深刻的集合理論，但是他沒有明確對於已知集合，哪些操作是合法的。為了填補Cantor在理論基礎上的不足，1908年策梅洛(Zermelo)提出了比較完整的公理，這些公理指明了對集合的哪些操作是合法的。後經過弗蘭克爾（Fraenkel）的完善和補充，形成了ZF公理系統。

基本介紹

• 中文名：ZF公理系統
• 別稱：公理化集合論
• 提出者：Cantor、策梅洛
• 提出時間：1908年
• 套用學科：集合
• 適用領域範圍：集合論

公理化集合論

(1)外延公理（容積公理）：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有的元素相同，則它們是相等的。

(2)分離公理模式：“對任意集合X和任意對X的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合Y，使z∈Y 若且唯若z∈X而且P(z)為真”

也就是說：若X是一個集合，那么可以斷定，Y={x∈X|P（x）}也是一個集合。

(3)配對公理：對任意a和b是對象，則存在一個集合{a，b}，其僅有的元素是a和b。也就是說：我們可以用一個集合Z={X,Y}來表示任給的兩個集合X,Y，稱之為X與Y的無序對。

(4)並集公理：任給一族M，存在UM（稱為M的並）它的元素恰好為M中所含元素的元素。也就是說：我們可以把族M的元素的元素匯集到一起，組成一個新集合。

註：為了方便描述，定義族表示其元素全為集合的集合。

(5)冪集公理(子集之集公理)：對任意集合X，存在集合P（X），它的元素恰好就是X的一切子集。也就是說：存在以已知集合的一切子集為元素的集合。

(6)無窮公理：存在歸納集。（存在一個集合，空集是其元素，且對其任意元素x，x⁺⁼x∪{x}也是其元素）

也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。

(7)替換公理模式（置換公理）：也就是說，對於任意的函式F（x），對於任意的集合T，當x屬於T時，F（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合S，使得對於所有的x屬於T，在集合S中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函式的定義域在T中的時候，那么它的值域可限定在S中。

(8)正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬於x的情況。

準確的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”

以上8條公理組成了ZF公理系統，再加上選擇公理，則組成了ZFC公理系統

(9)選擇公理：也叫策梅洛公理，對於任意兩兩不交的集合族，存在集合C，使對所給的族中的每個集合X，集合X與C的交恰好只含一個元素。

說明及套用

公理1~8組成了ZF集合論公理系統，即著名的ZF公理體系。9作為與前8個獨立的公理，在數學分析中經常用到。

公理1，2可以推出任何集合X有空子集，且空集唯一。

通過公理3，可以定義有序對（X,Y）：={{X,X}，{X,Y}}。

公理1~5可以限制新集合形成的可能，從而消除羅素悖論中的集合(存在集合A滿足A不包含於自己)。

公理6，連同1~4，按照馮諾依曼的提出（根據皮亞諾公理系統對自然數的描述）可以建立自然書數集N₀的標準模型。

公理7在建立分析學時並不使用之。

公理8與羅素悖論：

羅素悖論實際上構造了一個真類，而根據正則公理，真類被排除在ZF集合論的公理體系之外。也就是說，正則公理並沒有真正解決羅素悖論，只是限制了數學所討論的集合（更恰當的說法是類或是蒐集）的範圍，從而避開了羅素悖論。這是目前數學家們所找到的最好的解決辦法：通過正則公理排除所有已知的矛盾。

注意正則公理並沒有否定羅素悖論，因為如果通過其他公理能夠構造出該悖論中的集合，那么仍然是矛盾。實際上不用正則公理，羅素已經替我們證明了這個集合是不存在的。