公理系統

數學上，一個公理系統（或稱公理化系統，公理體系，公理化體系）是一個公理的集合，從中一些或全部公理可以用來一起邏輯的導出定理。

基本介紹

• 中文名：公理系統
• 外文名：Armstrong's axiom
• 類型：系統
• 別名：公理化系統
• 性質：集合
• 套用學科：數學

簡介

一個數學理論由一個公理系統和所有它導出的定理組成。一個完整描述出來的公理系統是形式系統的一個特例；但是通常完全形式化的努力帶來在確定性上遞減的收益，並讓人更加無法閱讀。所以，公理系統的討論通常只是半形式化的。一個形式化理論通常表示一個公理系統，例如在模型論中表述的那樣。一個形式化證明是一個證明在形式化系統中的表述。

性質

一個公理系統稱為自洽（或稱相容、一致性），如果它沒有矛盾，也就是說沒有從公理同時導出一個命題及其否定的能力。

在一個公理系統中，一個公理被稱為獨立的，若它不是一個從系統的其它公理可以導出的定理。一個系統稱為獨立的，若它的每個公理都是獨立的。

雖然獨立性不是一個系統的必要需求，自洽性卻是必要的。一個公理系統稱為完備的，若每個命題都可以導出或其否定可以導出。

模型

公理系統的數學模型是一個定義嚴謹的集合，它給系統中出現的未定義術語賦予意義，並且是用一種和系統中所定義的關係一致的方式。具體模型的存在性能證明系統的自洽。

模型也可以用來顯示一個公理在系統中的獨立性。通過構造除去一個特定公理的子系統的正確模型，我們表明該省去的公理是獨立的，若它的正確性不可以從子系統得出。

兩個模型被稱為同構，如果它們的元素可以建立一一對應，並且以一種保持它們之間的關係的方式。一個其每個模型都同構於另一個的公理系統稱為範疇式的，而可範疇化的性質保證了系統的完備性。

第一個公理系統是歐氏幾何。

公理化方法

公理化方法經常被作為一個單一的方法或著一致的過程來討論。以歐幾里得為榜樣，它確實在很多世紀中被這樣對待：直到19世紀初葉，在歐洲數學和哲學中古希臘數學的遺產代表了智力成就（在幾何學家的風格中，更幾何的發展）的最高標準這件事被視為理所當然（例如在斯賓諾莎的著作中所述）。

這個傳統的方法中，公理被設定為不言自明的，所以無可爭辯，這在19世紀逐漸被掃除，這是隨著非歐幾何的發展，實分析的基礎，康托的集合論和弗雷格在數學基礎方面的工作，以及希爾伯特的公理方法作為研究工具的“新”用途而發生的。例如，群論在該世紀末第一個放到了公理化的基礎上。一旦公理理清了（例如，逆元必須存在），該課題可以自主的進展，無須參考這類研究的起源—變換群。

所以，現在在數學以及它所影響的領域中至少有3種“模式”的公理化方法。用諷刺描述法，可能的態度有：

1. 接受我的公理，你就必須承擔它們的後果。

2.我拒絕你的公理之一併且採納另外的模型（I reject one of your axioms and accept extra models）。

3. 我的公理集定義了一個研究領域。

第一種情況定義了經典的演繹方法。第二種採用了博學點，一般化這個口號;它和概念可以和應該用某種內在的自然的廣泛性來表達的假設是一致的。第三種在20世紀數學中有顯著的位置，特別是在基於同調代數的課題中。很顯然公理化方法在數學之外是有局限性的。例如，在政治哲學中，導致不可接受的結論的公理很可能被大量拒絕；所以沒有人真的統一上面的第一個版本。

例子

歐幾里得公理

1. 任意兩個點可以通過一條直線連線。
2. 任意線段能無限延伸成一條直線。
3. 給定任意線段，可以以其一個端點作為圓心，該線段作為半徑作一個圓。
4. 所有直角都全等。
5. 若兩條直線都與第三條直線相交，並且在同一邊的內角之和小於兩個直角，則這兩條直線在這一邊必定相交。

利用這些公理可以得到歐幾里得幾何學。修改第五條公理可以得到非歐幾何學。

皮亞諾公理

1.0是自然數；

2.每一個確定的自然數a，都有一個確定的後繼數a' ，a' 也是自然數（一個數的後繼數就是緊接在這個數後面的數，例如，0的後繼數是1，1的後繼數是2等等）；

3.0不是任何自然數的後繼數；

4.如果b、c的後繼數都是自然數a，那么b=c；

5.任意關於自然數的命題，如果證明了它對自然數0是對的，又假定它對自然數n為真時，可以證明它對n' 也真，那么，命題對所有自然數都真。（這條公理也叫歸納公理，保證了數學歸納法的正確性）

根據這五條公理可以建立起一階算術系統，也稱皮亞諾算術系統。

柯爾莫果洛夫公理

假設我們有一個基礎集Ω，其子集F為西格馬代數，和一個給F的要素指定一個實數的函式P。F的要素是Ω的子集，稱為“事件”。

第一公理 對於任意一個集合E∈F， 即對於任意的事件P(E)∈[0,1]。即，任一事件的機率都可以用0到1區間上的一個實數來表示。

第二公理 P(Ω) = 1 , 即，整體樣本集合中的某個基本事件發生的機率為1。更加明確地說，在樣本集合之外已經不存在基本事件了。 這在一些錯誤的機率計算中經常被小看；如果你不能準確地定義整個樣本集合，那么任意子集的機率也不可能被定義。

第三公理 任意兩兩不相交事件E₁, E₂, ...的可數序列滿足P(E₁ ∪ E₂ ∪ ...) = ∑P(E_i)。 即, 不相交子集的並的事件集合的機率為那些子集的機率的和。這也被稱為是σ可加性。如果存在子集間的重疊，這一關係不成立。

這三條公理讓機率論建立在了堅實的數學基礎上。

牛頓運動定律

牛頓第一定律：任何一個物體在不受外力或受平衡力的作用時，總是保持靜止狀態或勻速直線運動狀態，直到有作用在它上面的外力迫使它改變這種狀態為止。

滿足牛頓第一定律的參考系叫慣性系

牛頓第二定律：在慣性系中，物體的加速度跟物體所受的合外力成正比，跟物體的質量成反比，加速度的方向跟合外力的方向相同。

牛頓第三定律：兩個物體之間的作用力和反作用力，在同一直線上，大小相等，方向相反。

利用牛頓三定律，可以建立牛頓力學。