無窮序列

序列(sequence)是數學分析的基本概念之一，即可用自然數編號，並按編號從小到大的次序排列的同一類數學對象。若將序列看做集合，它的元素稱為序列的項，但序列並非一般的集合，序列的項有先後次序，並且不同的項可以是相同的元素。序列可以只有有限項，稱為有限序列，不只有限項的序列稱為無窮序列，這是數學分析中通常討論的對象。序列按各項順序排列可寫為a₁，a₂，…，a_n，…，簡記為{a_n}。排在第n位的項a_n稱為第n項，把n看做在自然數集N中變動時，亦把a_n稱為通項。序列常隨其所包含的數學對象使用不同名稱，例如：各項都是數的序列稱為數列，各項都是點的稱為點列，各項都是函式的稱為函式列。數列也可看做定義域為自然數集N或其部分N_k={1，2，…，k}的函式或映射(f∶n→a_n)，因此亦稱整序變數。數列還常用數軸上的點列表示，所以數列與直線上的點列可以不加區分。

基本介紹

• 中文名：無窮序列
• 外文名：infinite sequence
• 所屬學科：數學
• 相關概念：序列，函式，有限序列等
• 簡稱：序列

基本介紹

定義1

設有按照從左到右的次序所排列的無窮多個如下的數

就把它叫做無窮序列，簡稱序列。記為。序列中的每一個數都叫做序列的元素，並把叫做序列的第m個元素(m是一個正整數)。

定義2

序列(sequence)是以序數為定義域的函式。設為一個函式，為序數，則稱為一個序列，記為。當時，則稱序列為有窮序列；若，則稱這一序列為n元有序組；若，則稱序列為無窮序列或超窮序列。有時為了某些特殊需要，也將一般的函式變成一個序列。設為集合上的函式，用符號表示此函式，這時稱此函式為一個集合序列，稱為指標集。若的值域為序數集，則稱為一個序數序列；若的值域為基數，則稱為基數序列等。

序列的分類與子序列

如果序列的各元素有如下的關係

就說它是一個增序列。如果各元素有如下的關係

就說它是一個不減序列。如果各元素有如下的關係

就說它是一個減序列。如果各元素有如下的關係

就說它是一個不增序列。

如果從序列中取出一部分元素(無窮多個)，仍按它們原來的次序排列起來，就得到如下的新序列

它叫做屬於序列的子序列，簡記為。

例如，下面的每一行都是一個序列。其中的第一行是—個增序列，第二行是一個減序列

下面這個序列就是上面第三行的序列的一個子序列：

如果一個序列的一切元素都含在某一有界集內，就說這個序列是一個有界序列。