皮亞諾曲線

皮亞諾曲線（Peano curve）是一曲線序列的極限。只要恰當選擇函式，畫出一條連續的參數曲線，當參數t在0、1區間取值時，皮亞諾曲線將遍歷單位正方形中所有的點，得到一條充滿空間的曲線。 皮亞諾曲線是一條連續而不可導的曲線。

基本介紹

• 中文名：皮亞諾曲線
• 外文名：Peano curve
• 提出者：朱塞佩•皮亞諾
• 原像維度：1維
• 像的維度：2維
• 性質：曲線的像充滿正方形

皮亞諾曲線的發現

皮亞諾（Peano）曲線是一條能夠填滿正方形的曲線。

1890年，義大利數學家皮亞諾（GiuseppePeano）發現能填滿一個正方形的曲線，叫做皮亞諾曲線。皮亞諾對區間上的點和正方形上的點的對應作了詳細的數學描述。實際上，正方形的這些點對於 ,可規定兩個連續函式 和 ，使得x和y取屬於單位正方形的每一個值。後來，希爾伯特作出了這條曲線。

皮亞諾曲線

維數的認識

在傳統概念中，曲線的維數是1維， 正方形是2維。按照通常的理解，沒有寬度的一維的曲線是不可能填滿2維的方格的。

皮亞諾曲線說明我們對維數的認識是有缺陷的，有必要重新考察維數的定義。這就是分形幾何考慮的問題。在分形幾何中， 維數可以是分數的叫做分數維度。

此外皮亞諾曲線是連續的但處處不可導的曲線。因此如果我們想要研究傳統意義上的曲線， 就必須加上可導的條件，以便排除像皮亞諾曲線這樣的特例。

集合論觀點

與 均為不可數集，且基數均為連續統基數。對於 的方塊 ,存在一個一一映射

同理存在一個一一映射

由於 與 基數相同，故存在一個一一映射

但該映射不一定是連續的。Peano曲線給出了一個 的連續滿射，一般來說，一維的曲線是不可能填滿2維的方格的。但是皮亞諾曲線恰恰給出了可行的例子。