基本介紹
簡介,嚴格定義,定義,標準歐幾里得空間,歐幾里德介紹,
簡介
約在公元前300年，古希臘數學家歐幾里得建立了角和空間中距離之間聯繫的法則，現稱為歐幾里得幾何。歐幾里得首先開發了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理已被編排到叫做二維或三維歐幾里得空間的抽象數學空間中。
這些數學空間可以被擴展來套用於任何有限維度，而這種空間叫做 n 維歐幾里得空間（甚至簡稱 n維空間）或有限維實內積空間。
這些數學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實內積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數教科書中也被稱為歐幾里得空間。為了開發更高維的歐幾里得空間，空間的性質必須嚴密地表達並被擴展到任意維度。儘管這樣做的結果導致數學非常抽象，但卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質，即平面性。還另外儲存在其他種類的空間，例如球面則非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時空在重力出現的時候也不是歐幾里得空間。
有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據距離和角表達的特定聯繫的點所成的集合。其一是平移，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關於在這個平面中固定點的旋轉，其中在平面上的所有點關於這個固定點旋轉相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是子集）應被認為是等價的（全等）。（參見歐幾里得群）。
歐幾里德空間(Euclidean Space)，簡稱為歐氏空間(也可以稱為平直空間)，在數學中是對歐幾里德所研究的2維和3維空間的一般化。這個一般化把歐幾里德對於距離、以及相關的概念長度和角度，轉換成任意數維的坐標系。這是有限維、實和內積空間的“標準”例子。 歐氏空間是一個特別的度量空間，它使得我們能夠對其的拓撲性質，例如緊性加以調查。內積空間是對歐氏空間的一般化。內積空間和度量空間都在泛函分析中得到了探討。
歐幾里德空間在對包含了歐氏幾何和非歐幾何的流形的定義上發揮了作用。一個定義距離函式的數學動機是為了定義空間中圍繞點的開球。這一基本的概念正當化了在歐氏空間和其他流形之間的微分。微分幾何把微分，會同導入機動性手法，局部歐氏空間，探討了非歐氏流形的許多性質。
歐幾里德空間是4維或N維的理論無窮大的空間。
嚴格定義
定義
設V是實數域R上的線性空間（或稱為向量空間），若V上定義著正定對稱雙線性型g（g稱為內積），則V稱為（對於g的）內積空間或歐幾里德空間（有時僅當V是有限維時，才稱為歐幾里德空間）。具體來說，g是V上的二元實值函式，滿足如下關係：
（1）g(x,y)=g(y,x)；
（2）g(x+y,z)=g(x,z)+g(y,z)；
（3）g(kx,y)=kg(x,y)；
（4）g(x,x)>=0，而且g(x,x)=0若且唯若x=0時成立。
這裡x,y,z是V中任意向量，k是任意實數。
例子：
2. 設V是[0,1]區間上連續實函式全體，則V是R上線性空間，對於如下內積是歐幾里德空間：(f,g)定義為fg在[0,1]區間上的積分值。
標準歐幾里得空間
四維空間被稱為標準歐幾里得空間，可以拓展到n維；四維時空指的是閔可夫斯基空間概念的一種誤解。人類作為三維物體可以理解四維時空（三個空間維度和一個時間維度）但無法認識以及存在於四維空間，因為人類屬於第三個空間維度生物。通常所說時間是第四維即四維時空下的時間維度。四維空間的第四維指與x，y，z同一性質的空間維度。然而四維時空並不是標準歐幾里得空間，時間的本質是描述運動的快慢。
通過一維、二維、三維空間的演變，人們提出了關於四維空間的一些猜想。儘管這些猜想現在並不能證明是正確的，但科學理論有很多是有猜想開始的。現今科學理論一般是基於現象總結規律，而關於四維空間的現象沒有足夠準確清晰的認識，或者看到了這種現象卻並沒有想到是四維空間引起的。
