黎曼空間

黎曼空間是一種矢量空間，它滿足空間中存在度規張量，使臨近兩點的距離由正定二次型決定。

基本介紹

• 中文名：黎曼空間
• 外文名：Riemannian space
• 領域：數學
• 貢獻者：黎曼
• 性質：矢量空間
• 空間量：度規張量

定義

若在n維矢量空間中有度規張量 ，使得空間鄰近兩點 和 之間的距離由正定二次型決定，則稱該矢量空間為黎曼空間。二次型 為黎曼空間的線元， 為黎曼空間的度規張量。定義曲線弧長的微分為

而任一條曲線 的弧長為

在黎曼空間中，關於標量、矢量和張量的定義類似於仿射空間，其運算法則也相仿。對於兩個矢量a和b的逆變的標量積定義為

兩個矢量的長度(模)分別為

兩個矢量的夾角餘弦為

黎曼空間的特例

我們所熟悉的三維歐氏空間，以及將在狹義相對論中討論的四維閔柯夫斯基空間，都是黎曼空間的特例。在三維歐氏空間中，利用笛卡爾直角坐標系，令 ，則空間鄰近兩點的距離平方公式為

則有相應的度規張量為

這表明：在笛卡爾直角坐標系中，度規張量分量與空間點位無關。採用球坐標系，令 ，則空間鄰近兩點的距離平方公式為

因而，相應的度規張量為

可見，在三維歐氏空間中，若選用球坐標系(曲線坐標系)，則度規張量是點位坐標的函式，隨點的位置變換而變化。

在閔柯夫斯基空間中，採用坐標系的一維時間坐標和三維空間坐標，建立四維時空關係。取坐標為 ，則有不變距離公式為

式中，c為光速，坐標分量採用長度量綱，則有度規張量為

式中， 表示四維閔柯夫斯基度規。

在黎曼空間中，若通過選取適當的坐標系，是度規張量具有

的基本形式。則稱此空間為平坦的黎曼空間。