基本介紹
- 中文名：歐幾里德平面
- 外文名：Euclidean space
- 領域：數學
簡介,直覺概述,歐氏拓撲,與流形的關係,相關條目,
簡介
歐幾里得幾何是在約公元前300年，由古希臘數學家歐幾里得建立的角和空間中距離之間聯繫的法則。歐幾里得首先開發了處理平面上二維物體的“平面幾何”，他接著分析三維物體的“立體幾何”，所有歐幾里得的公理被編排到幾何原本。
這些數學空間可以被擴展來套用於任何有限維度，而這種空間叫做 n維歐幾里得空間（甚至簡稱n維空間）或有限維實內積空間。
這些數學空間還可被擴展到任意維的情形，稱為實內積空間（不一定完備），希爾伯特空間在高等代數教科書中也被稱為歐幾里得空間。 為了開發更高維的歐幾里得空間，空間的性質必須非常仔細的表達並被擴展到任意維度。 儘管結果的數學非常抽象，它卻捕獲了我們熟悉的歐幾里得空間的根本本質，根本性質是它的平面性。 另外儲存在其他種類的空間，例如球面非歐幾里得空間，相對論所描述的四維時空在重力出現的時候也不是歐幾里得空間。
直覺概述
有一種方法論把歐幾里得平面看作滿足可依據距離和角表達的特定聯繫的點所成的集合。其一是平移，它意味著移動這個平面就使得所有點都以相同方向移動相同距離。其二是關於在這個平面中固定點的旋轉，其中在平面上的所有點關於這個固定點旋轉相同的角度。歐幾里得幾何的一個基本原則是，如果通過一序列的平移和旋轉可以把一個圖形變換成另一個圖形，平面的兩個圖形（也就是子集）應被認為是等價的（全等）。（參見歐幾里得群）。
一旦歐幾里得平面用這種語言描述了，擴展它的概念到任意維度就是簡單的事情了。對於大多數部分，辭彙、公式、和計算對更高維的出現不造成任何困難。（但是，旋轉在高維中是非常微妙，而高維空間的可視化仍很困難，即使對有經驗的數學家也一樣）。
