有限幾何(finite geometry)是指含有限個點的幾何結構,在組合設計理論中,所涉及的幾何結構是指一類特別的關聯繫統,這種系統中有兩類不定義的元素,分別稱為點和線,以及點線之間的關聯關係,對這樣的關聯繫統加上不同類型的限制,即規定不同的公理,便得到各種類型的有限幾何結構。
基本介紹
- 中文名:有限幾何
- 外文名:finite geometry
- 所屬學科:數理科學
- 相關概念:有限域、仿射平面等
定義,仿射平面上的直線,離散橢圓曲線,離散對數,
定義
一個有限射影幾何包含著由點P、q、…組成的有限集以及由的子集L、M、……組成的子集簇,這些子集稱為線,並且這些子集滿足公理(i)一(iv)(若,我們稱P在L上或L通過P)。
(i) 通過任意兩不同的點P和q存在唯一的一條線(用(Pq)表示)。
(ii) 每條線至少包含3點。
(iii) 若不同的線L,M有公共點P,且若q,r為L上不等於P的點,及s,t為M上不等於P的點,則線(qt)和(rs)也有一公共點(看圖1)。
(iv) 對任意點P至少存在兩條不含P的線,而對任意線L至少存在兩個不在L上的點。
射影幾何的子空間必是的子集S且S滿足:
(v) 若P,q是S的不同的點則S包含線(Pq)上所有的點。
子空間的實例就是內的點和線以及自身。超平面H是最大的正規子空間,所以是唯一的完全包含H的子空間。
在一射影幾何或仿射幾何中的一點集t,若對一切,則X不屬於包含T-{X}的最小子空間,T叫做獨立的。例如,任何不在一線上的三點啤做獨立的。如果 r 是在子空間S中獨立點的最大集的尺度,S的維數是r-1。特別地,若S=這就定義了射影幾何的維數。
射影幾何PG(m,q) 射影幾何和仿射幾何中最重要的是從有限域得到的那些情況。
設GF(q)為一有限域且假定m≥2.的點以非0的(m+1)重
表示,並且規定
和
代表相同的點,這裡為GF(q)的任意非0元。這些叫做點的齊次坐標。存在個非0的(m+1)重而每點出現q-1次,所以在中點的數目為()/(q一1)。
通過兩不同點和的線由點
構成,這裡均不為0。因為對於,存在q2—1種選擇而每點在上式中出現q-1次,一線包含q十1點。
明顯地滿足公理(i),(ii)。
仿射平面上的直線
作為有限域的一個套用,下面介紹有限幾何的概念。
定義1 設F是有限域,仿射平面AP(F)由下列兩個集合組成:
① 點集 ,
② 直線集 ={ 不全為0}。
不難證明仿射平面AP(F)具有普通歐幾里得平面的性質:
① 過兩個不同的點只能作一條直線;
② 過一直線 外的點P只能作一條直線 與 不相交。
由於AP(F)是定義在有限域上,因而P與L都是有限集合,且有以下計數定理。
定理1 設F是有限域且 ,AP(F)是F上的仿射平面,則有
①
②
③ 每條直線恰通過n個點;
④ 每個點恰在n+1條直線上。
有限域理論在組合設計中有很好的套用。
離散橢圓曲線
有一種密碼系統是利用離散橢圓曲線進行編碼的,那么什麼是橢圓曲線呢?我們先從實平面上的橢圓曲線說起,設a,b為實數,實平面上的曲線方程的圖形是以x軸為對稱軸的曲線,稱為橢圓曲線(elliptic curve).根據判別式的三種情況和,橢圓曲線有三種類型。例如,方程,曲線由兩部分組成,在左半平面是一個類似於橢圓的一條封閉曲線,而右半平面是一條不封閉的趨向無窮的曲線。
類似,我們可以在有限幾何中研究橢圓曲線,它的定義如下。
定義2 設p>3為素數,有限域,且,則滿足同餘式
的點的集合E稱為F上的離散橢圓曲線(discrete elliptic curve).並假定E中有一個特殊點O。在E中定義加法如下:設,則
其中
定義。
上面式子中的運算均為mod p的運算。
可以證明是可換群.元素的逆元為。
離散對數
各種形式的同餘方程在密碼學中有很多套用,對於指數是未知數的同餘方程,就是所謂離散對數(discrete logarithm)問題:
定義3 設p>3為素數,是一個本原元,,求整數滿足
x存在且惟一的,稱x為的以為底的離散對數,並記作。
首先我們看一下離散對數的存在惟一性.這是因為是一個本原元,它是的生成元,所以均有使.若有J,則由得,因而,在[0,p-2]範圍內是惟一確定的。
我們更關心的是如何計算離散對數.由於是在有限域上計算離散對數,自然會想到把所有的冪都計算出來,從而找出所對應的x。