定義
子集
一般地,對於兩個集合
A、
B,如果集合
A中任意一個元素都是集合
B中的元素,我們就說這兩個集合有
包含關係,稱集合
A為集合
B的子集(subset)。記作
A⊆
B(或
B⊇
A),讀作“
A包含於
B”(或“
B包含
A”)。
即,對於集合A與B,∀x∈A有x∈B,則A⊆B。可知任一集合A是自身的子集,空集是任一集合的子集。
真子集
如果集合
A⊆
B,存在元素
x∈
B,且元素
x不屬於集合
A,我們稱集合
A與集合
B有
真包含關係,集合
A是集合
B的
真子集(proper subset)。記作
A⊊
B(或
B⊋
A),讀作“
A真包含於
B”(或“
B真包含
A”)。
即:對於集合
A與
B,∀
x∈
A有
x∈
B,且∃
x∈
B且
x∉
A,則
A⊊
B。空集是任何
非空集合的真子集。
非空真子集:如果集合
A⊊
B,且集合
A≠∅,集合
A是集合
B的非空真子集(nonvoid proper subset)。
真子集與子集的區別:
舉例
所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的
集合的真子集;所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集(即
N⊊
Z);{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}; ∅⊊{∅}。但
不能說{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。
設全集I為{1, 2, 3},則它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅;而它的真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。
有關命題
命題1:若集合
A有
n個元素,則集合
A的
子集個數為2
n,且有2
n-1個真子集,2
n-2個非空真子集。
證明:設元素編號為1, 2, ...
n,每個子集對應一個長度為
n的
二進制數(規定數的第
i 位為1表示元素i在集合中,0表示元素
i 不在集合中。如全集
U={
e1,
e2,
e3,
e4,
e5},則{
e1,
e2,
e3,
e4,
e5} ↔ 11111,{
e2,
e3,
e4} ↔ 01110,{
e4} ↔ 00010)。即其子集為00...0(
n個0) ~ 11...1(
n個1)。易知一共有2
n個數,因此對應2
n個子集。去掉11...1(即表示原來的集合A)則有2
n-1個真子集,再去掉00...0(表示空集)則有2
n-2個非空真子集。
證明:給定任意集合A,要證明∅是A 的子集。這要求給出所有∅的元素是A 的元素;但是,∅沒有元素。
對有經驗的數學家們來說,推論 “∅沒有元素,所以∅的所有元素是A 的元素”是顯然的;但對初學者來說,有些麻煩。 換一種思維將有所幫助,為了證明∅不是A 的子集,必須找到一個元素,屬於∅,但不屬於A。因為∅沒有元素,所以這是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
命題3:若 A,B,C是集合,則:
自反性:
A⊆
A,反對稱性:
A⊆
B且
B⊆
A,
若且唯若A=
B,
傳遞性: 若
A⊆
B且
B⊆
C則
A⊆
C。這個命題說明:對任意集合
S,
S的
冪集按包含排序是一個
有界格,與上述命題相結合,則它是一個
布爾代數。
存在一個
最小元和一個
最大元: ∅ ⊆
A⊆
S( ∅⊆
A由命題2給出)。存在
並運算:
A⊆
A∪
B若
A⊆
C且
B⊆
C則
A∪
B⊆
C存在
交運算:
A∩
B⊆
A若
C⊆
A且
C⊆
B則
C⊆
A∩
B。這個
命題說明:表述 "
A⊆
B" 和其他使用
並集,
交集和
補集的表述是
等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。
命題5: 對任意兩個集合 A和 B,下列表述等價:A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B=∅ B′ ⊆ A′。