真子集

真子集

如果集合A集合B子集,並且集合B不是集合A的子集,那么集合A叫做集合B真子集(proper subset)。如果A包含於B,且A不等於B,就說集合A是集合B的真子集。

基本介紹

  • 中文名:真子集
  • 外文名:proper subset
  • 別稱真包含
  • 表達式:A⊊B
  • 套用學科:數學
  • 適用領域範圍:集合
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定義

子集

一般地,對於兩個集合AB,如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素,我們就說這兩個集合有包含關係,稱集合A為集合B的子集(subset)。記作AB(或BA),讀作“A包含於B”(或“B包含A”)。
即,對於集合AB,∀xAxB,則AB。可知任一集合A是自身的子集,空集是任一集合的子集。

真子集

如果集合AB,存在元素xB,且元素x不屬於集合A,我們稱集合A與集合B真包含關係,集合A是集合B真子集(proper subset)。記作AB(或BA),讀作“A真包含於B”(或“B真包含A”)。
即:對於集合AB,∀xAxB,且∃xBxA,則AB。空集是任何非空集合的真子集。
非空真子集如果集合AB,且集合A≠∅,集合A是集合B的非空真子集(nonvoid proper subset)。
真子集與子集的區別:
  • 子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素,有可能與另一個集合相等;
  • 真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素,但不存在相等

舉例

  • 所有亞洲國家組成的集合是地球上所有國家組成的集合的真子集;所有自然數的集合是所有整數的集合的真子集(即NZ);{1, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4},{1, 2, 3} ⊊ {1, 2, 3, 4}; ∅⊊{∅}。但不能說{1, 2, 3}⊊ {1, 2, 3}。
  • 設全集I為{1, 2, 3},則它的子集可以是{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、{1, 2, 3}、∅;而它的真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}、∅。它的非空真子集只能為{1}、{2}、{3}、{1, 2}、{1, 3}、{2, 3}。

有關命題

命題1:若集合An個元素,則集合A子集個數為2n,且有2n-1個真子集,2n-2個非空真子集。
實例實例
證明:設元素編號為1, 2, ... n,每個子集對應一個長度為n二進制數(規定數的第 i 位為1表示元素i在集合中,0表示元素i 不在集合中。如全集U={e1, e2, e3, e4, e5},則{e1,e2,e3,e4,e5} ↔ 11111,{e2,e3,e4} ↔ 01110,{e4} ↔ 00010)。即其子集為00...0(n個0) ~ 11...1(n個1)。易知一共有2n個數,因此對應2n個子集。去掉11...1(即表示原來的集合A)則有2n-1個真子集,再去掉00...0(表示空集)則有2n-2個非空真子集。
命題2空集是任意集合的子集。
證明:給定任意集合A,要證明∅是A 的子集。這要求給出所有∅的元素是A 的元素;但是,∅沒有元素。
對有經驗的數學家們來說,推論 “∅沒有元素,所以∅的所有元素是A 的元素”是顯然的;但對初學者來說,有些麻煩。 換一種思維將有所幫助,為了證明∅不是A 的子集,必須找到一個元素,屬於∅,但不屬於A。因為∅沒有元素,所以這是不可能的。因此∅一定是A 的子集。
這個命題說明:包含是一種偏序關係
命題3:若 ABC是集合,則:
自反性: AA,反對稱性: ABBA若且唯若A= B傳遞性: 若 ABBCAC。這個命題說明:對任意集合 SS冪集按包含排序是一個有界格,與上述命題相結合,則它是一個布爾代數
命題4:若 ABC是集合 S的子集,則:
存在一個最小元和一個最大元: ∅ ⊆ AS( ∅⊆A由命題2給出)。存在並運算: AABACBCABC存在交運算: ABACACBCAB。這個命題說明:表述 "AB" 和其他使用並集交集補集的表述是等價的,即包含關係在公理體系中是多餘的。
命題5: 對任意兩個集合 AB,下列表述等價:AB AB= A AB= B AB=∅ B′ ⊆ A′。

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