閉線性運算元

閉線性運算元(closed linear operator)是一種特殊的線性運算元，常直接稱為閉運算元。連續線性運算元必是閉運算元，但閉運算元不一定是連續運算元。根據閉圖像定理可知，定義域是閉子空間的閉運算元是連續運算元。

基本介紹

• 中文名：閉線性運算元
• 外文名：closed linear operator
• 別名：閉運算元
• 等價條件：圖像是閉集
• 出處：泛函分析
• 套用領域：魯棒控制

定義

定義1（閉線性運算元）設X，Y均為Banach空間，T是 的線性運算元。對於任意的 ，若由 可得 ，且 ，則稱T為閉線性運算元，簡稱閉運算元。

註：每個連續線性運算元T都可以將定義域 延拓到 的閉包上，因此每個連續線性運算元T都可以看成是有閉定義域的，於是每個連續線性運算元必是閉運算元；但一般的閉線性運算元不一定是連續運算元（下面的例1證實了這一說法）。

例1 考察微分運算元 ，它是定義在 上，取值於 的線性運算元。取函式 ，則

因此T是無界運算元，從而不是連續運算元。下證T是閉運算元。設 則對 另一方面，

所以，

故

定義2（線性運算元的圖像）令T是定義在 上到Y的線性運算元，稱

為T的圖像。

註： 是 的線性子空間。

性質

上面定義的閉線性運算元有一個重要性質，即T的圖象 為乘積空間 的一個閉線性子空間。定理描述為：

定理1 T是閉運算元的充分必要條件是 為閉集。

證明：（1）必要性 設 ， . 因為T是閉運算元，則 ， ，於是 ，故 是閉集。

（2）充分性 設 是閉的，若 ，那么

這表明

套用-閉圖像定理

定理2（閉圖像定理）設X，Y均為Banach空間，T是 的線性運算元。 是X中的閉集。若 是 中閉集，則T是連續的。

證：該定理的證明參見參考文獻[1] 的291-292頁。

由定理1可知，定理2還可敘述成：在定理2的條件下，若T是閉運算元，則T是連續的。因此定義域是閉子空間的閉運算元是連續運算元。

拓展

閉線性運算元原是泛函分析中的概念，後被引入魯棒控制中討論系統的不穩定攝動問題。經研究發現，控制系統中一個對象的傳遞函式P(s)(n×m階實有理矩陣)，若僅在有限功率譜輸入與輸出情況下考慮，實際上等於引入了一個從輸入空間H^m₂到輸出空間Hⁿ₂的閉線性運算元，這一結論為在魯棒控制中引入隔撲(Gap)概念討論系統的不穩定攝動打下了基礎。