閉圖像定理

閉圖像定理

閉圖像定理是數學泛函分析的一條定理。閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。

基本介紹

定理定義,驗證推導,定理推廣,泛化,

定理定義

設X,Y為巴拿赫空間,T:X
Y為線性運算元。定義T的圖像
的子空間
Γ(T)={(x,T(x))
,x
X}。
賦予
範數║(x,y)║X×Y=║x║X+║y║Y,使得
成為巴拿赫空間。那么,這定理指T是連續的(與有界等價)若且唯若Γ(T)在
內是閉集。

驗證推導

閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。
Γ(T)是閉集的充分必要條件是如果序列{(xn,yn)}n包含於Γ(T)(即對任意n有yn=T(xn)),而(xn,yn)
(x,y),那么(x,y)
Γ(T),y=T(x)。如果T是連續的,從連續性立刻可知Γ(T)是閉集,因為連續性是更強的條件:如果xn
x,則T(xn)
T(x)。
如果Γ(T)是閉集,可以在Γ(T)定義線性運算元
π1:Γ(T)
X,x是(x,y)的一個逆像,
π2:Γ(T)
Y,y是(x,y)的一個逆像。
顯然║π2(x,y)║Y=║y║Y
║(x,y)║X×Y,因此π2是有界運算元。
Γ(T)是巴拿赫空間X
Y中的閉子空間,所以Γ(T)是巴拿赫空間。X也是巴拿赫空間,π1雙射,從而由開映射定理的系可知,其逆π1-1:X
Γ(T)為有界運算元,因為T=π2
π1-1,故T也是有界的。

定理推廣

從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性運算元是有界的。

泛化

閉圖像定理可以通過以下方式推廣到更抽象的拓撲向量空間
若且唯若其圖形在配備產品拓撲的X×Y空間中被關閉時,從圓筒空間X到Fréchet空間Y的線性運算符是連續的。
並且有一個不需要Y局部凸的版本:
如果兩個F空間之間的線性映射圖被關閉,則映射是連續的。
而閉圖像定理的一般版本是:
假設X和Y是兩個拓撲向量空間(它們不需要是Hausdorff或局部凸起),具有以下屬性:如果G是
任何閉合子空間,而y是任何連續映射 的G到X,那么你是一個開放的映射。 在這種情況下,如果
是一個線性映射,其圖形被關閉,則f是連續的。

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