研究生教學用書·泛函分析教程

《研究生教學用書·泛函分析教程》是2008年復旦大學出版社出版的圖書。該書既注意以現代數學的觀點統率各章節內容，突出泛函分析中重要的基本理論，也精選了在套用中受到普遍關注的若干題材，同時還配備了一定數量的難易不等的習題，以利讀者加深理解，啟發思考。

基本介紹

• 書名：研究生教學用書·泛函分析教程
• ISBN：9787309037654
• 頁數： 303頁
• 出版社：復旦大學出版社
• 出版時間：2008年2月1日
• 裝幀：平裝
• 開本：16

內容簡介

《研究生教學用書·泛函分析教程》是研究生泛函分析教材。全書共7章，以概述線性泛函分析的基本理論為入口，分別介紹了Banach空間上緊運算元和Fredholm運算元、Banach代數、C*代數初步和Hilbert空間上正規運算元的譜分析、無界運算元、運算元半群、無限維空間上的微分學、拓撲度理論等。

目錄

第一章 線性泛函分析基礎

1.1 拓撲空間

1.1.1 拓撲空間的概念

1.1.2 網

1.1.3 連續映射

1.1.4 距離空間

1.1.5 距離空間的完備性

1.2 拓撲線性空間

1.2.1 拓撲線性空間的概念

1.2.2 賦準范線性空間

1.2.3 賦范線性空間

1.2.4 內積空間

1.2.5 一致凸空間和嚴格凸空間

1.3 緊性

1.3.1 緊集的概念

1.3.2 緊集上的連續映射

1.3.3 Zorn引理

1.3.4 緊空間的乘積空間

1.3.5 Stone-Weierstrass定理

1.3.6 距離空間中的列緊集與完全有界集

1.3.7 有限維賦范線性空間的特徵

1.3.8 Banach-Alaoglu定理

1.3.9 Hilbert空間單位球的弱緊性

1.4 Hahn-Banach定理及其幾何形式

1.4.1 線性空間上線性泛函的延拓

1.4.2 賦范線性空間上連續線性泛函的延拓

1.4.3 自反空間

1.4.4 連續線性泛函保范延拓的唯一性

1.4.5 凸集的分離性

1.4.6 端點、Krein-Milman定理

1.5 線性運算元基本定理

1.5.1 開映射定理

1.5.2 逆運算元定理和範數等價定理

1.5.3 閉圖像定理

1.5.4 共鳴定理

1.5.5 套用

1.5.6 Schauder基

1.5.7 點列的收斂性

1.5.8 泛函序列和運算元序列的收斂性

習題

第二章 譜論Ⅰ：Banach空間上的緊運算元及Fredholm運算元

2.1 Banach代數中元素的譜

2.1.1 代數和理想

2.1.2 賦范代數

2.1.3 Banach代數中元素的譜

2.2 線性運算元的譜

2.2.1 線性運算元譜的概念

2.2.2 線性運算元譜的分類

2.2.3 近似譜點

2.2.4 共軛運算元及共軛運算元的譜

2.3 緊運算元

2.3.1 有限秩運算元

2.3.2 緊運算元的概念

2.3.3 緊運算元的Ricsz-Schauder理論

2.3.4 Banach空間的直和分解

2.3.5 緊運算元的Ricsz-Schauder理論(續)

2.4 Fredholm運算元

2.4.1 Fredholm運算元的概念

2.4.2 Fredholm運算元的性質

習題

第三章 譜論Ⅱ：Hilbert空間上的正規運算元

3.1 Banach代數的Gelfand表示

3.1.1 可乘線性泛函

3.1.2 Gclfand表示

3.1.3 極大理想空間

3.2 C*代數

3.2.1 C*代數的概念

3.2.2 C*代數中的正規元

3.2.3 Gelfand-Naimark定理

3.2.4 GNS構造

3.3 譜測度和譜積分

3.3.1 投影運算元

3.3.2 譜測度與譜積分

3.3.3 譜系

3.4 Hilbert空間上正規運算元的譜分解

3.4.1 譜定理與函式演算

3.4.2 函式演算的擴充

3.4.3 正規運算元的譜分解定理

3.4.4 正規運算元的譜

3.4.5 Hilbert空間上緊運算元的結構

3.4.6 正規運算元的本質譜

3.4.7 von Neumann代數

習題

第四章 無界運算元

4.1 對稱運算元和自伴運算元

4.1.1 稠定運算元的共軛運算元

4.1.2 對稱運算元與自伴運算元的概念

4.1.3 運算元的圖像

4.1.4 對稱運算元為自伴運算元的條件

4.1.5 自伴運算元的譜

4.1.6 Cayley變換

4.1.7 無界函式的譜積分

4.1.8 自伴運算元的譜分解定理

4.1.9 L2(-∞，+∞)上的乘法運算元

4.2 對稱運算元的自伴擴張

4.2.1 閉對稱運算元的虧指數

4.2.2 正定雙線性泛函

4.2.3 半有界運算元的Friedrichs擴張定理

4.3 自伴運算元的擾動

4.3.1 可閉運算元的擾動

4.3.2 自伴運算元的擾動

4.3.3 自伴運算元在擾動下的譜

4.4 無界運算元序列的收斂性

4.4.1 預解意義下的收斂性

4.4.2 圖意義下的收斂性

習題

第五章 運算元半群

5.1 向量值函式

5.1.1 向量值函式的連續性

5.1.2 向量值函式的可導性

5.1.3 向量值函式的Ricmann積分

5.1.4 向量值函式的可測性

5.1.5 強可測與弱可測的關係

5.1.6 運算元值可測函式

5.2 Bochner積分和Pettis積分

5.2.1 Pettis積分

5.2.2 Bochner積分

5.2.3 Bochner積分的性質

5.3 運算元半群的概念

5.3.1 運算元半群概念的由來

5.3.2 C0類運算元半群

5.3.3 運算元半群的一些例子

5.4 C0類運算元半群的表示

5.4.1 C0類運算元半群無窮小母元的概念

5.4.2 無窮小母元的預解式

5.4.3 C0類運算元半群的表示

5.5 無窮小母元的特徵

5.5.1 C0類運算元半群無窮小母元的特徵

5.5.2 標準型C0類運算元半群母元的特徵

5.5.3 C0類壓縮半群母元的特徵

5.5.4 Hilben空間上C0類壓縮半群母元的特徵

5.6 單參數酉運算元群、Stone定理

5.6.1 單參數運算元群的無窮小母元

5.6.2 Stone定理

5.6.3 Stone定理的套用：Bochner定理

5.7 遍歷定理

5.7.1 相空間上的保測變換

5.7.2 Boltzmann遍歷假設

5.7.3 不可壓縮穩定流

5.7.4 遍歷定理

5.7.5 變換群的遍歷性

習題

第六章 無窮維空間的微分學

6.1 映射的微分

6.1.1 Gatcaux微分

6.1.2 Frechet微分

6.1.3 高階導數

6.1.4 Taylor公式

6.1.5 冪級數

6.2 隱函式定理

6.2.1 Cp映射與微分同胚

6.2.2 隱函式的存在性

6.2.3 隱函式的可微性

6.3 泛函極值

6.3.1 線性方程的解與二次泛函的極小問題

6.3.2 泛函極值的必要條件

6.3.3 泛函極值的存在性：下半弱連續條件

6.3.4 最速下降法

6.3.5 泛函極值的存在性：Palais-Smale條件

習題

第七章 拓撲度

7.1 Brouwcr度

7.1.1 C1類映射的拓撲度(非臨界點情形)

7.1.2 3個引理

7.1.3 C1類映射的拓撲度(一般情形)

7.1.4 Brouwcr度

7.1.5 Brouwcr度的性質

7.2 Leray-Schauder度

7.2.1 一個例子

7.2.2 全連續映射

7.2.3 Leray-Schauder度的定義

7.2.4 Leray-Schauder度的性質

7.3 不動點定理及其套用

7.3.1 Brouwer不動點定理

7.3.2 Schauder不動點定理

7.3.3 非緊性測度

7.3.4 集壓縮映射的不動點

7.3.5 Kakutani不動點定理

7.3.6 套用：代數學基本定理

7.3.7 套用：不變子空間

7.3.8 套用：對策論基本定理

習題

參考文獻