參數方程

參數方程，為數學術語，其和函式很相似：它們都是由一些在指定的集的數，稱為參數或自變數，以決定因變數的結果。例如在運動學，參數通常是“時間”，而方程的結果是速度、位置等。

基本介紹

• 中文名：參數方程
• 外文名：parametric equation
• 坐標：（半徑，角度）
• 套用學科：數學
• 相關術語：普通方程
• 例子：曲線ρ=f(t),θ=g(t）

定義

一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線上任意一點的坐標x、y都是某個變數t的函式：

，

並且對於t的每一個允許的取值，由方程組確定的點(x, y)都在這條曲線上，那么這個方程就叫做曲線的參數方程，聯繫變數x、y的變數t叫做參變數，簡稱參數。相對而言，直接給出點坐標間關係的方程即稱為普通方程。

例子

曲線的極坐標參數方程ρ=f(t),θ=g(t)。

圓的參數方程 x=a+r cosθ y=b+r sinθ（θ∈ [0，2π) ） (a,b) 為圓心坐標，r 為圓半徑，θ 為參數，(x,y) 為經過點的坐標

橢圓的參數方程 x=a cosθ　 y=b sinθ（θ∈[0，2π）） a為長半軸長 b為短半軸長 θ為參數

橢圓

雙曲線的參數方程 x=a secθ （正割） y=b tanθ a為實半軸長 b為虛半軸長 θ為參數

拋物線的參數方程 x=2pt^2 y=2pt p表示焦點到準線的距離 t為參數

直線的參數方程 x=x'+tcosa y=y'+tsina,x',y'和a表示直線經過（x',y'），且傾斜角為a,t為參數

或者x=x'+ut，　 y=y'+vt (t∈R)x',y'直線經過定點（x',y'),u，v表示直線的方向向量d=(u,v)

圓的漸開線x=r(cosφ+φsinφ） y=r(sinφ-φcosφ）（φ∈[0,2π）） r為基圓的半徑 φ為參數

平擺線參數方程 x=r（θ-sinθ） y=r（1-cosθ）r為圓的半徑，θ是圓的半徑所經過的角度（滾動角），當θ由0變到2π時，動點就畫出了擺線的一支，稱為一拱。

圓的漸開線

平擺線

套用

在柯西中值定理的證明中，也運用到了參數方程。

柯西中值定理

如果函式f(x）及F(x）滿足：

⑴在閉區間[a,b]上連續；

⑵在開區間(a,b)內可導；

⑶對任一x∈(a,b),F'(x）≠0。

那么在(a,b)內至少有一點ζ，使等式

[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f'（ζ）/F'（ζ）成立。

柯西簡潔而嚴格地證明了微積分學基本定理即牛頓－萊布尼茨公式。他利用定積分嚴格證明了帶餘項的泰勒公式，還用微分與積分中值定理表示曲邊梯形的面積，推導了平面曲線之間圖形的面積、曲面面積和立體體積的公式。

參數曲線亦可以是多於一個參數的函式。例如參數表面是兩個參數(s,t)或(u,v)的函式。

譬如一個圓柱：

r(u,v)=[x(u,v),y(u,v),z(u,v)]=[acos(u),asin(u),v]

參數，是參變數的簡稱，它是研究運動等一類問題中產生的。在質點運動時，它的位置必然與時間有關係，也就是說，質的坐標x，y與時間t之間有函式關係x=f(t)，y=g(t)，這兩個函式式中的變數t，相對於表示質點的幾何位置的變數x，y來說，就是一個“參與的變數”。這類實際問題中的參變數，被抽象到數學中，就成了參數。我們所學的參數方程中的參數，其任務在於溝通變數x，y及一些常量之間的聯繫，為研究曲線的形狀和性質提供方便。

用參數方程描述運動規律時，常常比用普通方程更為直接簡便。對於解決求最大射程、最大高度、飛行時間或軌跡等一系列問題都比較理想。有些重要但較複雜的曲線（例如圓的漸開線），建立它們的普通方程比較困難，甚至不可能，列出的方程既複雜又不易理解。

根據方程畫出曲線十分費時；而利用參數方程把兩個變數x，y間接地聯繫起來，常常比較容易，方程簡單明確，且畫圖也不太困難。

常見參數方程

過(h, k)，斜率為m的直線:

圓：

橢圓：

雙曲線：

拋物線：

螺線：

擺線：

註：上文中的a, b, c, h, k, l, m, p, r為已知數，t都為參數， x, y為變數。