定義
拋物線定義:平面內與一個定點
F 和一條直線
l 的距離相等的
點的軌跡叫做拋物線,點
F 叫做拋物線的焦點,直線
l 叫做拋物線的
準線,定點
F不在定直線上。它與橢圓、
雙曲線的第二定義相仿,僅比值(離心率
e)不同,當
e=1時為拋物線,當0<e<1時為橢圓,當e>1時為雙曲線。
方程
拋物線的標準方程有四種形式,參數
p的幾何意義,是焦點到
準線的距離,掌握不同形式方程的幾何性質(如下表):其中P(x0,y0)為拋物線上任一點。
標準方程 | y^2=2px(p>0) | y^2=-2px(p>0) | x^2=2py(p>0) | x^2=-2py(p>0) |
圖形 | | | | |
範圍 | | | | |
對稱軸 | X軸 | y軸 |
頂點坐標 | 原點O(0,0) |
焦點坐標 | | | | |
準線方程 | | | | |
離心率 | e = 1 |
焦半徑 | | | | |
對於拋物線y^2=2px(p≠0)上的點的坐標可設為(
,y
0),以簡化運算。
拋物線的焦點弦:設過拋物線y^2=2px(p>0)的焦點F的直線與拋物線交於A(x
1,y
1)、B(x
2,y
2),直線OA與OB的
斜率分別為k
1,k
2,直線l的
傾斜角為α,則有y
1y
2=-p^2,x
1x
2=
,k
1k
2=-4,|OA|=
,|OB|=
,|AB|=x
1+x
2+p
幾何性質
方程的具體表達式為y=ax^2+bx+c
⑵a>0,則拋物線開口朝上;a<0,則拋物線開口朝下;
⑷Δ=b^2-4ac,
Δ>0,圖象與x軸交於兩點:
Δ=0,圖象與x軸交於一點:
Δ<0,圖象與x軸無交點;
若
拋物線交y軸為正半軸,則c>0。若拋物線交y軸為負半軸,則c<0。