開方(數學術語)

開方（英文rooting），指求一個數的方根的運算，為乘方的逆運算（參見“方根”詞條）。在中國古代也指求二次及高次方程（包括二項方程）的正根。

基本介紹

• 中文名：開方
• 外文名：rooting
• 解釋：一個數的方根的運算
• 類別：數學（代數）
• 適用範圍：數理科學

漢語釋義

1. 數學術語。求方根的運算。對“乘方”而言。
   《周髀算經》卷上“勾股圓方圖” 漢 趙君卿 註：“勾股各自乘，並之為弦實，開方除之，即弦也。”
2. 見方。
   《南史·到溉傳》：“遭母憂，居喪盡禮。所處廬開方四尺，毀瘠過人。”
3. 開藥方。也說開方子。
   《再生緣》第五七回：“從此下官拋棄了，再不去，開方診脈作醫生。”
   魯迅 《自序》：“因為開方的醫生是最有名的，以此所用的藥引也奇特。”
   謝覺哉 《不惑集·》：“﹝我﹞很小就知道中醫開方子，允許寫白子（即簡字或錯用字），叫‘藥白眼’。”
4. 求算面積。
   《明史·食貨志一》：“ 萬曆 六年，帝用大學士 張居正 議，天下田畝通行丈量，限三載竣事。用開方法，以徑圍乘除，畸零截補。於是豪猾不得欺隱，里甲免賠累，而小民無虛糧。”
   清 魏源 《聖武記》卷六：“ 利瑪竇 、 南懷仁諸地圖，開方計里，眉燦星臚。”
   清 馮桂芬 《繪地圖儀》：“今 江 南州縣有魚鱗冊，猶沿其制，惟有明以前，繪圖不知計里開方之法，圖與地不能密合，無甚足用。”

方根

數a的n（n為自然數）次方根指的是n方冪等於a的數，也就是適合b的n次方=a的數b。例如16的4次方根有2和-2。一個數的2次方根稱為平方根；3次方根稱為立方根。各次方根統稱為方根。求一個指定的數的方根的運算稱為開方。一個數有多少個方根，這個問題既與數的所在範圍有關，也與方根的次數有關。在實數範圍內，任一實數的奇數次方根有且僅有一個，例如8的3次方根為2，-8的 3次方根為-2 ；正實數的偶數次方根是兩個互為相反數的數，例如16的4次方根為2和-2；負實數不存在偶數次方根；零的任何次方根都是零。在複數範圍內，無論n是奇數或偶數，任一個非零的複數的n次方根都有n個。如果複數，，那么它的n個n次方根是，k=0，1，2…，n-1。

示例圖

方法

數字4開方後就是2，2就是它開方的結果
這個用兩個相同數字表示一個數的這個數字叫做開方

4=2x2 四等於二乘二
9=3x3 九等於三乘三

16=4x4

25=5x5

36=6x6

49=7x7
64=8x8

81=9x9

100=10x10
2,3,4,5,6,7,8,9,10就是4和9,16,25,36,49,64,81,100開方後的數

關於任意數開任意次方的公式：設被開方數為A，開次方數為B。C為變數

首次C取值為1，帶入A,B常量計算結果，並用計算結果值替換公式中的變數 C。再次計算結果，再次替換，當C=公式計算結果值，此時C即為根。循環步驟受開方數字長度影響，此法也可筆算進行。採用的是牛頓疊代法。且 A、B 可為小數，分數，負數，此法為逐次逼近法。可簡單的實現編程。但是注意：不能計算負數開偶數次方。

下面為：代入法

1、把被開方的整數部分從個位起向左每隔n位為一節，用撇號分開；

2、根據左邊第一節里的數，求得開n次算術根的最高位上的數，假設這個數為a；

3、從第一節的數減去求得的最高位上數的n次方，在它們的差的右邊寫上第二節數作為第一個餘數；

4、用第一個餘數除以，所得的整數部分試商（如果這個最大整數大於或等於10，就用9做試商）；

5、設試商為b。如果小於或等於餘數，這個試商就是n次算術根的第二位；如果大於餘數，就把試商逐次減1再試，直到小於或等於餘數為止。

6、用同樣的方法，繼續求n次算術跟的其它各位上的數（如果已經算了k位數數字，則a要取為全部k位數字）。公式：

例如，開立方，A=5，即k=3.公式：

5介於 至 之間（1的3次方=1，2的3次方=8）

可以取1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.6，1.7，1.8，1.9，2.0都可以。例如我們取2.0.按照公式：

第一步：。輸入值大於輸出值，負反饋；

即，，，，取2位數值,即1.7。

第二步：.。輸入值小於輸出值，正反饋；

即，，，。取3位數，比前面多取一位數。

第三步：。輸入值大於輸出值，負反饋

第四步：.輸入值小於輸出值，正反饋；

這種方法可以自動調節，第一步與第三步取值偏大，但是計算出來以後輸出值會自動轉小；第二步，第四步輸入值偏小，輸出值自動轉大。 =1.7099.

電腦程式代碼

對於任意實數的開方，可以使用切線法得到其任意精度的結果，切線法的疊代公式為：

取任意初始值，以上疊代序列將會收斂：

實際套用中一般取初始值為稍微大的實數，這樣可以加快序列的收斂速度。

c語言代碼如下：

// 2015-12-24// By: ChenYu#include "math.h"#include "stdio.h"#define ABS(a) ((a)<0?-(a):(a))#ifdef _WIN32    typedef unsigned __int64 uint64;#else    typedef unsigned long long uint64;#endif// calculate a approximate valuestatic double calcInitRoot(double x, int n){    const uint64 exptMask=((uint64)1<<11)-1;     const uint64 fracMask=((uint64)1<<52)-1;    uint64 xInt=*(uint64*)&x;    int xExpt=(int)((xInt>>52)&exptMask)-1023;    xInt=((uint64)((xExpt+1024*n-1)/n)<<52)+(xInt&fracMask)/n;    return *(double*)&xInt;}double calcRoot(double x, int n){    int i, j, s=1-((x<0)<<(n&1));    double a=ABS(x);    double x1, x0=calcInitRoot(a, n);    double err=x0*1e-14;    if(x==0)        return 0;    for(i=1; i<50; i++)    {        double xn=1;        for(j=0; j<n-1; j++)            xn*=x0;        x1=((n-1)*x0*xn+a)/(xn*n);        // printf("x%d=%.14f\n", i, x1);        if(ABS(x1-x0)<=err)            break;        x0=x1;    }    return s*x1;}void main(){    double x=-31141.592653589793;    int n=11;    double y=calcRoot(x, n);    printf("root(%g,%d)=%+.14f\n", x, n, y);    printf("root(%g,%d)=%+.14f\n", x, n, pow(ABS(x), 1.0/n));}