量綱

量綱（dimension）是指物理量的基本屬性。物理學的研究可定量地描述各種物理現象，描述中所採用的各類物理量之間有著密切的關係，即它們之間具有確定的函式關係。為了準確地描述這些關係，物理量可分為基本量和導出量。基本量是具有獨立量綱的物理量，導出量是指其量綱可以表示為基本量量綱組合的物理量；一切導出量均可從基本量中導出，由此建立了整個物理量之間函式關係。這種函式關係通常稱為量制。以給定量制中基本量量綱的冪的乘積表示某量量綱的表達式，稱為量綱式或量綱積。它定性地表達了導出量與基本量的關係，對於基本量而言，其量綱為其自身。在物理學發展的歷史上，先後曾建立過各種不同的量制：CGS量制、靜電量制、高斯量制等。1971年後，國際上普遍採用了國際單位制（簡稱SI），選定了由7個基本量構成的量制，導出量均可用這7個基本量導出。7個基本量的量綱分別用長度L、質量M、時間T、電流I、溫度Θ、物質的量n和光強度J表示，則任一個導出量的量綱

dimA=L^αM^βT^γI^δΘ^εN^ζJ^η,

這是量綱的通式。式中的指數α,β,γ…稱為量綱指數，全部指數均為零的物理量，稱為無量綱量，如精細結構常數即為一無量綱量。此外，如速度的量綱dimV=LT^－1，加速度a的量綱dima=LT^－2等。

基本介紹

• 中文名：量綱
• 外文名：dimension
• 別名：因次
• 適用範圍：物理學
• 套用學科：物理學
• 表示：物理量Q的量綱記為dimQ

由來

物理學中，不同的物理量有著不同的單位，然而這些單位之間都有相互的聯繫。實際上，恰當地規定一些基本的單位（稱為基本單位），可以使任何其他的單位（稱為導出單位）都表達為這些單位的乘積，將其統一以便於研究各個物理量之間的關係。如在國際單位制中，功的單位焦耳（），可以表示為“千克平方米每平方秒”（）。

然而，僅僅用單位來表示會面臨一些問題：

（1）在不同的單位制下，各個物理量用單位來表示也會不同，以至於起不到預期的“統一各單位”的效果。如英里每小時（mph）與米每秒（m/s）乍看之下無甚聯繫，然而它們卻都是表示速度的單位。雖然說經過轉換可以將各個基本單位也統一，然而這樣終究不夠直觀，需記憶也不甚方便，而且選擇哪一個單位作為統一單位似乎都不甚公平。

（2）把一個既有的單位表達為拆分了的基本單位的形式實際上沒有任何意義，功的單位無論如何都不是“千克二次方米每二次方秒”，因為實際上這個單位根本不存在，它只是與“焦耳”恰好相等而已。況且，這樣做也會導致一些拆分後相同但實質不同的單位被混淆，如力矩的單位牛米（）被拆分後也是，然而它與功顯然是完全不同的。

因此量綱被作為表達導出單位組成的專有方式引入物理學中。

國際標準

按照國際標準，物理量Q的量綱記為dimQ，國際物理學界沿用的習慣記為[Q]。量綱是物理學中的一個重要概念。可以定性地表示出導出量與基本量之間的關係；可以有效地進行單位換算；可以檢查物理公式的是否正確；可以推知某些物理規律。“在量制中，以基本量的冪的乘積表示該量制中一個量的表達式，這個表達式就是該量的量綱。”

物理量之間的有規律聯繫還通過描述自然規律的各種定律表示出來。因此當一個單位制的基本量確定後，其他的物理量就可以通過既定的關係或定律，定義為用基本量表示的導出量，並通過代數式表示為基本量的冪次乘積。

由於選取的基本量不相同，同一個物理量在不同的單位制里的量綱可以互不相同。這在電磁學中是常有的。例如高斯單位制中的基本量是長度、質量和時間，而電磁學的MKSA制（電磁單位制）中的基本量是長度、質量、時間和電流。

物理量之間的一定組合，使其量綱積內基本量的量綱指數均為零，稱為無量綱積或無量綱物理量，有時也稱為量綱為1的量。例如應變dl/l的量綱dim(dl/l)=LL^－1=1；雷諾數R_e=vlρ/μ，其中v、ρ、μ分別是流體的速率、密度和粘滯率；l是物體或容器的特徵線度，顯然有

dimR_e=LT^－1·L·ML^－3·M^－1LT=M⁰L⁰T⁰=1

無量綱量的量綱為1，所以它的數值與所選用的單位制無關，用純數表示。

任一合理構成的物理方程中的各項，都具有相同的量綱。顯然，量綱一致的方程的形式，不會因基本量的單位不同而改變。在量綱分析中把一組無量綱積稱為完全系。

在國際單位制（SI）中，七個基本物理量長度、質量、時間、電流、熱力學溫度、物質的量、發光強度的量綱符號分別是L、M、T、I、Θ、N和J。例如：

速度 v=ds/dt 量綱：LT^－1

加速度 a=dv/dt 量綱：LT^－2

力 F=ma 量綱：MLT^－2

壓強 P=F/S 量綱：MLT^－2/L²= MT^－2L^－1

量綱是檢查公式推導過程中是否準確的判據，雖然不能保證其正確，但可以找到錯誤。一個物理理論通常由以下幾個部分組成：概念，通常是抽象的，不能直接感知；關於這些概念的數學表示（物理量）：假定一個或一組方程，表示物理量之間的關係。在這一部分中，量綱扮演著重要角色。

採用不同的量制，同一物理量會有不同的量綱。如表示電磁量的量制，歷史上曾有CGSE和CGSM及SI等量制，對這幾種量制之間，同一物理量的數值可以進行換算。為了便於文獻和書刊中的測量值之間的比較，多數科學家均採用國際單位制，但在某些專門領域，還保留了採用傳統因襲的量制來表示。

國際制基本單位

物理量名稱	物理量符號	單位名稱	符號	單位定義
長度	L	米	m	1米是光在真空中在1/299792458秒的時間間隔內的行程
質量	M	千克（公斤）	Kg	1千克是普朗克常數為6.62607015×10^-34J·s時的質量單位
時間	T	秒	s	1秒是銫-133原子基態兩個超精細能級之間躍遷所對應的輻射的9192631770周期的持續時間
電流	I	安（安培）	A	1安培是單位時間內通過1/1.602176634×10^19個電子對應的電流
熱力學溫度	K	開（開爾文）	K	1開是玻爾茲曼常數為1.380649×10^-23J·K^-1的熱力學溫度
物質的量	n（ν）	摩（摩爾）	mol	1摩爾是精確包含6.02214076×10^23個原子或分子等基本單元的系統的物質的量
發光強度	I（Iv）	坎（坎德拉）	cd	1坎為一光源在給定方向的發光強度，光源發出頻率為540×1012赫的單色輻射，且在此方向上的輻射強度為1/683瓦每球面度
註：1. 人們生活和貿易中，質量可能誤認為是重量，實際上重量是由於重力而產生的，而質量是物質的性質。; 2.單位符號一欄，前為中文符號，後為國際符號。例：“安培”可簡稱“安”，也作為中文符號使用。圓括弧內的字，為前者的同義語。例：“千克”也可稱為“公斤”; 3.Kg(Kilogram) 原名稱 G(Grave)。

量綱和單位

物理問題所涉及的量可以按照其屬性分為兩類：一類物理量的大小與度量時所選用的單位有關，稱為有量綱量，如常見的有長度、時間、質量、速度、加速度、力、動能、功等；另一類物理量的大小與度量時所選用的單位無關，則稱為無量綱量，如角度、兩個長度之比、兩個時間之比、兩個力之比、兩個能量之比等。
對物理問題的認識，最簡單的是比較物理量的大小，顯然只有對具有同樣屬性的物理量才能比較它們的大小。進一步是了解物理問題中的因果關係。作為原因的諸多物理量之間，總會以一種有機的聯繫來反映作為結果的物理量。討論這種聯繫首先要明白諸量的屬性或量綱，特別是作為結果的物理量的量綱，必須與作為原因的諸多物理量的量綱之間，建立反映該問題物理本質的固有聯繫。
在認識物理問題的規律中離不開對物理量的度量。度量某一個物理量，需要以一定方式將該量與一個取作單位的同類量相比較。如在力學問題中常採用cm、g、s分別作為度量長度量、質量量和時間量的單位，並稱為物理單位制。但用物理單位制討論和研究物理問題時很不方便。最本質的辦法是選用本問題中能夠反映問題特徵的物理量來當作單位。一般，在物理問題的因果關係中，特別是在作為原因的自變數中選擇某幾個具有獨立量綱的自變數當作單位，組成單位系，用來度量該問題中所有的物理量。如在運動學問題中可選用一個特徵長度和一個特徵時間組成單位系；在動力學的問題中，則除了選用一個特徵長度、一個特徵時間外，還要選用一個特徵質量或特徵力，三者組成單位系。

量綱是表征物理量的性質（類別），如時間、長度、質量等；單位是表征物理量大小或數量的標準，如s、m、Kg等。

量綱分析

量綱分析（dimensional analysis）是對物理現象或問題所涉及的物理量的屬性進行分析，從而建立因果關係的方法。

量綱分析是自然科學中一種重要的研究方法，它根據一切量所必須具有的形式來分析判斷事物間數量關係所遵循的一般規律。通過量綱分析可以檢查反映物理現象規律的方程在計量方面是否正確，甚至可提供尋找物理現象某些規律的線索。

客觀規律要求數值的非實質變化必須保證事物客觀大小的絕對性。具體說，任何兩個一定大小的同類量，不論測量的單位如何，它們的相對大小永遠不變，即它們的比值對任何單位都必須是個定值。同類量相對大小對於單位的不變性是度量的根本原則。違反這一原則，量度將沒有任何意義。根據這個原則，可以導出以下的重要結論：在確定的單位制中，所有物理量的量綱都具有基本量量綱的冪次積形式（證明從略）。

實際現象總是同時參有許多物理量。它們間通過理論與實驗建立起一定的依存關係，構成某一客觀規律的數學算式。顯然，這種數量關係必須有具體內容，列成算式時要首先考慮運算的含義。物理中只有同類量或它們的同樣組合才能進行加減。另外，在建立算式時要採用統一單位制的觀點，否則將無法按名數的大小來進行比較。當然，單位總可以通過換算給予統一，因而不構成任何限制。其次，所建立反映客觀實際規律的關係式，必須在單位尺度的主觀任意變換下不受破壞。關係式的這一性質稱為“完整性”。

表現數量關係的最一般形式是多項式。保證多項式的完整性有兩種辦法：一是要求出現在算式中的一切參量都是無量綱純數，二是要求式中所有各項具有完全相同的量綱，也就是每一項的每一基本量綱都有相同的冪次，即所謂量綱的齊次性。算式中各項都是有關名數的冪次積，它們可分為量數和量綱兩部分。既然量綱齊次，等式兩邊的量綱因子就可以相消，只剩下純粹由量數構成的關係方程，也就是無量綱化了。總之，量綱齊次是構成完整性的充分和必要條件。

應該指出，任何兩個量綱齊次的算式，假如硬性相加成為新的多項式，它雖然仍具有完整性，但可能變為非量綱齊次。這是因為兩個算式分別表示不同類量間的關係。任何算式套用於具體實例都是如此，所以無需看作是量綱齊次的破壞。

所謂量綱獨立指其中任何一個量的量綱式不能由其餘量的量綱式的冪次積所組成。例如MLT體系中長度[L]、速度[LT^－1]和能量[ML²T^－2]三者是獨立的，而長度[L]、速度[LT^－1]和加速度[LT^－2]三者間則非獨立的。三個基本量的體系一般也只具有不多於三個的量綱獨立量。

歷史上最早把物理量的屬性看作物理量量綱的是J.傅立葉。他把dimension一詞的概念，從幾何學中的長度、面積和體積的範疇，推廣到物理學中的長度、時間、質量、力、能、熱等物理量的範疇，這一詞不再限於長、寬、高等幾何空間的屬性，而泛指物理現象中物理量的屬性，稱之為量綱。他說換了單位不僅某量的大小變了，與該量有關的量的大小也跟著變。
在同一個時期，O.雷諾和瑞利套用量綱的概念屢屢取得成功。雷諾首先用於檢驗方程各項的齊次性。瑞利則用於克服求解問題中遇到的數學困難。後來，E.白金漢提出：每一個物理定律都可以用幾個零量綱冪次的量（稱之為Π）來表述。P.布里奇曼將白金漢的提法稱之為Π定理。實際上，傅立葉早已指明這種提法的實質，只可惜在他那個年代並沒有引起大家的重視。

量綱分析又叫因次分析，是20世紀初提出的在物理領域中建立數學模型的一種方法。量綱分析就是在量綱法則的原則下，分析和探求物理量之間關係。

量綱分析的基礎是量綱法則。而在深層次運用中，會運用到Π定理，以至於有時把量綱分析直接看作“運用Π定理進行無量綱化的過程”。

基本原理

在物理問題中，與問題有關的物理量可分成基本量和導出量兩類。基本量是指具有獨立量綱的物理量，它的量綱不能表示為其他物理量的量綱的組合；導出量則是指其量綱可以表示為基本量量綱的組合的物理量。兩個具有同樣量綱的物理量的比值是個純數。

量綱分析的基本原理——Π定理：一般方程式通過對原來n個參量的無量綱化，一定可得到n－k個獨立無量綱參數π₁，…，π_n-k的函式關係式（證明從略）。這就是所謂的π定理，Π定理是量綱分析的理論核心。
任何一個物理定律總可以表示為確定的函式關係。對於某一類物理問題，如果問題中有n個自變數a₁,a₂,…,a_n，因變數a則是這n個自變數的函式，即：

a=f(a₁,a₂,…,a_k,a_k+1,…,a_n)

在自變數中可找出具有獨立量綱的基本量，如果基本量的個數是k，把它們排在自變數的最前面，則a₁,a₂,…,a_k是基本量，它們的量綱分別是A₁,A₂,…,A_k；其餘n－k個自變數a_k+1,a_k+2,…,a_n是導出量。

Π定理是由E.白金漢於1915年提出的一個定理，其內容表述為：

設影響某現象的物理量數為n個，這些物理量的基本量綱為m個，則該物理現象可用N=n-m個獨立的無量綱數群（準數）關係式表示。

量綱分析的重大作用在於通過 π定理減少了問題中參量的個數，這對實驗安排具有難以估量的重要性。

量綱分析在物理和工程領域發揮了極其重要的作用；特別是對物理機理和數學表述不太清楚的問題，運用量綱分析可以進行模型試驗，從而加深對問題的認識。因為量綱分析所遵循的思想、原則和方法具有普遍性和通用性。

運算法則

對於不同物理量之間乘、除法導出新的物理量，量綱的計算滿足數學上的指數計算法則，即：相乘則對應指數相加，相除則對應指數相減。

量綱服從的規律稱為量綱法則，它有廣泛的套用，一般只指出常用的兩條：

1. 只有量綱相同的物理量，才能彼此相加、相減和相等；

2. 指數函式、對數函式和三角函式的宗量應當是量綱1的。量綱法則是量綱分析的基礎。若推出的公式不符合量綱法則，該式必然是錯誤的。

通俗解釋

時間的長短（秒、分、時）、質量的大小（g、Kg）、速度的快慢（Km/h、m/s）等，都是量綱，它們反映特定物理量或物理現象的度量，在物理學或者計算上通常以物理量的單位來表示。

按此定義，量綱又是度量，是長短、大小、快慢、強弱等的度量。

位移（距離）、時間、光亮等，都是物理現象。當測量物理量的時候，它們成了受測量的“量”。凡能測量、計數、計算的東西都是量。在度量的時候，很自然地運用到度量單位，單位加上數，就成了具體的測量數據，如3小時、150公里、50Km/h等。單位是用來度量物體的，是給物體定量之用的。用單位來度量的概念，就是量綱。比如說，時間的度量單位有分、秒、時、日等。用這些單位來表示時間的數量（度量）。這些單位就是時間量綱的表示，是時間長短的表示。同樣的，多少米每秒、多少公里每小時、多少英尺每分鐘等，都是速度量綱的表示，是速度快慢的表示。

分、秒、時、日是時間度量（time dimension）的表示，是時間長短的表示。千米、米、厘、毫是位移度量（displacementdimension）的表示，是位移多寡長短的表示。千克、克、毫克是質量度量（massdimension）的表示，是質量大小的表示。千坎、坎、毫坎是亮度度量（illuminous intensitydimension）的表示，是光亮度強弱的表示。公里每小時、米每秒是速率度量的表示，是速率快慢的標誌。

量綱是物理量的度量，是物理量的測量數據的表示。用來表示量綱的單位必須反映特定物理現象或物理量，如溫度、位移、速度、質量等。僅代表特定數目的單位，稱為“無量綱單位”。例如“打”代表12；“羅”代表12打或144。