我們知道，一元函式是一個由定義域到值域的映射，其定義域與值域都是一維數集．我們要研究的向量值函式是指分量都是關於同一自變數的一元函式，就是說 n 元向量值函式是x到xn上的映射。我們感興趣的是取值為二維和三維的向量值函式，即n = 2和n = 3的情形。
基本介紹
- 中文名：向量值函式
- 外文名：Vector-valued function
- 表達式：r(t)= f(t),g(t),h(t) =f(t)i+g(t)j+ h(t)k
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：函式
- 參數方程：Γ x=f(t),y =g(t),z= h(t),t∈I
- 極限表達式：lim r(t)=a i+b j (t→t0)
定義,引入,定義式,參數方程,極限與連續,引入,極限表達式,微分,
定義
一個函式，若其值域是一個線性空間或一個線性空間的一個子集，則稱此函式為向量值函式。
引入
在平面內運動的質點在t時刻的坐標(x, y)可以描述為x = f (t),，y = g(t)，t∈I ，這樣點(x, y) = (f (t), g(t))形成平面曲線C ，它是質點的運動路徑，它用參數方程來描述。如果用r(t)表示從原點到質點在時刻t的位置P(f (t), g(t))的向量，那么r(t) = OP = {f (t), g(t)} = f (t)i + g(t)j。
定義式
r(t) ={f (t), g(t), h(t)}= f (t)i + g(t)j+ h(t)k。
參數方程
Γ : x = f (t), y = g(t), z = h(t), t∈I。
極限與連續
引入
對於二維向量值函式r(t) = f (t)i + g(t)j，設它在t0的某去心鄰域內有定義，如果lim f(t)=a (t→t0)，lim g(t)=b (t→t0)，則稱當t →t0 時，向量值函式r(t)的極限存在，其極限為lim r(t)=ai+bj (t→t0)；
如果二維向量值函式r(t) = f(t)i + g(t)j在t0 的某鄰域內有定義，且lim r(t)=r(t0) (t→t0)，則稱向量值函式r(t)在點t0處連續；
如果r(t)在區間 I 的每個點上連續，則稱r(t)為區間 I 上連續的向量值函式。
極限表達式
lim r(t)=ai+bj (t→t0)，其中lim f(t)=a (t→t0)，lim g(t)=b (t→t0)。
微分
若向量值函式r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k，則向量值函式的微分表達式為：
r'(t) = x'(t)i + y'(t)j+z'(t)k或dr(t)/dt = {dx(t)/dt+dy(t)/dt+dz(t)/dt}。
