坐標幾何

坐標幾何系指藉助笛卡爾坐標系，由笛卡爾、費馬等數學家創立並發展。它用代數方法研究幾何對象之間的關係和性質的一門幾何學分支，亦叫做解析幾何。

基本介紹

• 中文名：坐標幾何
• 外文名：Analytic Geometry
• 別稱：解析幾何
• 提出者：笛卡爾、費馬等
• 適用領域範圍：數學
• 分類：平面解析幾何和立體解析幾何

定義

坐標幾何包括平面解析幾何和立體解析幾何兩部分。平面解析幾何通過平面直角坐標系，建立點與實數對之間的一一對應關係，以及曲線與方程之間的一一對應關係，運用代數方法研究幾何問題，或用幾何方法研究代數問題。

解析幾何（英語：Analytic geometry），又稱為坐標幾何（英語：Coordinate geometry）或卡氏幾何（英語：Cartesian geometry），早先被叫作笛卡兒幾何，是一種藉助於解析式進行圖形研究的幾何學分支。解析幾何通常使用二維的平面直角坐標系研究直線、圓、圓錐曲線、擺線、星形線等各種一般平面曲線，使用三維的空間直角坐標系來研究平面、球等各種一般空間曲面，同時研究它們的方程，並定義一些圖形的概念和參數。

歷史

古希臘數學家梅內克繆斯(Menaechmus)的解題、證明方式與現在使用坐標系十分相似，以至於有時會認為他是解析幾何的鼻祖。阿波羅尼奧斯在《論切觸》中解題方式在現在被稱之為單維解析幾何；他使用直線來求得一點與其它點之間的比例。阿波羅尼奧斯在《圓錐曲線論》中進一步發展了這種方式，這種方式與解析幾何十分相似，比起笛卡兒早了1800多年。他使用了參照線、直徑、切線與現進所使用坐標系沒有本質區別，即從切點沿直徑所量的距離為橫坐標，而與切線平行、並與數軸和曲線向交的線段為縱坐標。他進一步發展了橫坐標與縱坐標之間的關係，即兩者等同於誇張的曲線。然而，阿波羅尼奧斯的工作接近於解析幾何，但它沒能完成它，因為他沒有將負數納入系統當中。在此，方程是由曲線來確定的，而曲線不是由方程得出的。坐標、變數、方程不過是一些給定幾何題的腳註罷了。

十一世紀波斯帝國數學家歐瑪爾·海亞姆發現了幾何與代數之間的密切聯繫，在求三次方程使用了代數和幾何，取得了巨大進步。但最關鍵的一步由笛卡兒完成。

從傳統意義上講，解析幾何是由勒內·笛卡兒創立的。笛卡兒的創舉被記錄在《幾何學》(La Geometrie)當中，在1637年與他的《方法論》一道發表。這些努力是以法語寫成的，其中的哲學思想為創立無窮小提供了基礎。最初，這些著作並沒有得到認可，部分原因是由於其中論述的間斷，方程的複雜所致。直到1649年，著作被翻譯為拉丁語，並被馮·斯霍滕(van Schooten)恭維後，才被大眾所認可接受。

費馬也為解析幾何的發展做出了貢獻。他的《平面與立體軌跡引論》(Ad locos planos et solidos isagoge)雖然沒有在生前發表，但手稿於1637年在巴黎出現，正好早於笛卡兒《方法論》一點。《引論》文字清晰，獲得好評，為解析幾何提供了鋪墊。費馬與笛卡兒方法的不同在於出發點。費馬從代數公式開始，然後描述它的幾何曲線，而笛卡兒從幾何曲線開始，以方程的完結告終。結果，笛卡兒的方法可以處理更複雜的方程，並發展到使用高次多項式來解決問題。

發展

17世紀以來，由於航海、天文、力學、經濟、軍事、生產的發展，以及初等幾何和初等代數的迅速發展，促進了坐標幾何的建立，並被廣泛套用於數學的各個分支。在坐標幾何創立以前，幾何與代數是彼此獨立的兩個分支。坐標幾何的建立第一次真正實現了幾何方法與代數方法的結合，使形與數統一起來，這是數學發展史上的一次重大突破。作為變數數學發展的第一個決定性步驟，坐標幾何的建立對於微積分的誕生有著不可估量的作用。

基本理論

坐標

在解析幾何當中，平面給出了坐標系，即每個點都有對應的一對實數坐標。最常見的是笛卡兒坐標系，其中，每個點都有x-坐標對應水平位置，和y-坐標對應垂直位置。這些常寫為有序對(x,y)。這種系統也可以被用在三維幾何當中，空間中的每個點都以多元組呈現(x,y,z)。

坐標系也以其它形式出現。在平面中最常見的另類坐標系是極坐標系，其中每個點都以從原點出發的半徑r和角度θ表示。在三維空間中，最常見的另類坐標系統是圓柱坐標系和球坐標系。

曲線方程

在解析幾何當中，任何方程都包含確定面的子集，即方程的解集。例如，方程y=x在平面上對應的是所有x-坐標等於y-坐標的解集。這些點匯集成為一條直線，y=x被稱為這道方程的直線。總而言之，線性方程中x和y定義線，一元二次方程定義圓錐曲線，更複雜的方程則闡述更複雜的形象。

通常，一個簡單的方程對應平面上的一條曲線。但這不一定如此：方程x=x對應整個平面，方程x²+y²=0 只對應(0,0)一點。在三維空間中，一個方程通常對應一個曲面，而曲線常常代表兩個曲面的交集，或一條參數方程。方程x²+y²=r²代表了是半徑為r且圓心在(0, 0)上的所有圓。

距離和角度

在解析幾何當中，距離、角度等幾何概念是用公式來表達的。這些定義與背後的歐幾里得幾何所蘊含的主旨相符。例如，使用平面笛卡兒坐標系時，兩點A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)之間的距離d(又寫作|AB|被定義為

上述可被認為是一種勾股定理的形式。類似地，直線與水平線所成的角可以定義為

其中m是線的斜率。

變化

變化可以使母方程變為新方程，但保持原有的特性。例如，母方程 有水平和垂直的漸近線，處在第一和第三象限當中能夠，它所有的變形都有水平和垂直的漸近線，出現在第一或第三、第二或第四象限當中。總的來說，如果y=f(x)，那么它可以變為y=af[b(x-k)]+h。新的變形方程，a因素如果大於1，就垂直拉伸方程；如果小於1，就壓縮方程。如果a 值為負，那么方程就反映在 x-軸上。 b值如果大於1就水平壓縮方程，小於1就拉伸方程。與a一樣，如果為負就反映在y-軸上。k和 h 值為平移，h值是垂直，k 為水平。h 和 k 的正值意味著方程往數軸的正方向移動，負值意味這往數軸的負方向移動。

變化可以套用到任意幾何等式中，不論等式是否代表某一方程。 變化可以被認為是個體處理、或是組合處理。

交集

雖然本討論僅限於xy-平面上，但它可以很容易地衍生為更高維的空間中。兩個幾何對象P 和 Q 指代P(x,y) 和Q(x,y)，其交集是所有點(x,y) 的集合。

截距

被廣泛研究的一種交集是幾何對象與 x 和y 坐標軸的交集。

幾何對象與y-軸的交集被稱之為對象的 y-截距。與 x-軸的交集被稱之為對象的 x-截距。

就線 y=mx+b而言，參數b定義線在何處與 y軸相交。據此， b 或(0,b) 點被稱之為 y-截距。

套用

解析幾何中的重要問題：

• 向量空間
  
• 平面的定義
  
• 距離問題
  
• 點積求兩個向量的角度
  
• 外積求一向量垂直於兩個已知向量（以及它們的空間體積）
  
• 交點問題
  

現代解析幾何

解析簇(analytic variety)定義為幾個解析函式的共同解集。類似與實數與複數的代數簇。任何複流形都是一種解析簇。由於解析簇可能有奇點，但不是所有解析簇都是複數。.

解析幾何總體上來說等同與實數與複數代數幾何，讓-皮埃爾·塞爾在他的著作《代數幾何與解析幾何》(Géometrie Algébrique et Géométrie Analytique)闡述了這個觀點。然而，兩個領域依然有其獨特性，而證明方式也十分不同，代數幾何也包括幾何的有限特徵。