弗萊納公式

在向量微積分中，弗萊納公式(Frenet–Serret 公式)用來描述歐幾里得空間R中的粒子在連續可微曲線上的運動。更具體的說，弗萊納公式描述了曲線的切向，法向，副法方向之間的關係。

基本介紹

• 中文名：弗萊納公式
• 外文名：Frenet–Serret formulas
• 提出者：弗萊納
• 套用學科：歐幾里得空間
• 適用領域範圍：運動學等
• 具體描述：曲線的切向，法向，副法方向關係

梗概

單位切向量 T，單位法向量 N，單位副法向量 B，被稱作 弗萊納標架，他們的具體定義如下：

T是單位切向量，方向指向粒子運動的方向。

N是單位法向量 T對弧長參數的微分單位化得到的向量。B是 T和 N的外積。

弗萊納公式如下

其中d/ds是對弧長的微分， κ 為曲線的曲率，τ 為曲線的撓率。弗萊納公式描述了空間曲線曲率撓率的變化規律

空間曲線的切向量 T，法向量 N 和副法向量

弗萊納公式

記r(t) 為歐式空間R中的曲線，表示粒子在時間 t 時刻的位置向量。 弗萊納公式只適用於正則曲線，即速度向量r′(t)和加速度向量r′′(t)不為零的曲線。

記 s(t)為 t時刻粒子所在位置到曲線上某定點的弧長：由於假設r′ ≠ 0，因此可以將 t表示為 s的函式，因此可將曲線表示為弧長 s的函式 r(s) = r(t(s))。 s通常也被稱為曲線的弧長參數。

對於由弧長參數定義的正則曲線 r(s)，弗萊納標架(或弗萊納基底)定義如下：

單位切向量 T：

主法向量 N： 副法向量 B定義為 T和 N的外積：

由於

所以 N與 T垂直。 方程 (3) 說明 B垂直於 T和 N，因此向量 T，N，B互相垂直。

弗萊納公式如下：

其中的矩陣是反對稱矩陣。

對弧長s求導，可以看成是對切方向的協變導數。

參閱

曲線仿射幾何

曲線微分幾何

達布標架

運動學