切向量

曲線在一點處的切向量可以理解為沿曲線該點處切線方向的向量。

切向量是與曲線相切的向量，給定曲線C上一點P，Q是C上與P的鄰近一點，當Q點沿曲線趨近於P時，割線PQ的極限位置稱為曲線C在P點的切線。

基本介紹

• 中文名：切向量
• 外文名：tangent vector
• 所屬領域：數理科學
• 定義：與曲線相切的向量

知識儲備

在定義切向量之前，首先給出光滑函式的定義。敘述中都將按國際非線性學術界表達慣例，向量將一律用白斜體字母表示。

定義1 設A是 的一個開子集（即A內每點都可找到一個完全屬於A的鄰域）， 是一個函式。f點z 的值記為 。如果f對 的任意階偏導數存在且連續，則稱函式f是 類函式(function of class )，簡稱f是一個 函式或稱f是一個光滑函式(smooth function)。如果函式f是 的，且對任意指定點 ，存在 的一個鄰域U，使對所有 ，f在 的Taylor級數展開式都收斂到 ，則稱f是一個 函式或稱f 是一個解析函式( analytic function)。

定義2 一流形N上有定義的所有光滑函式的集合，記為 。在流形N上一點p的鄰域有定義的所有光滑函式的集合，記為 。

定義

設N是一個n維光滑子流形， 是在N上p點有定義的光滑函式集合， 是定義在 上的泛函（運算元），如果v有下列性質（也稱求導性質）：

(1)線性性

(2)符合Leibnitz規則

則稱v是定義在流形N上某點p的一個切向量(tangent vector)。

相關概念介紹

下面對以上定義作一些概念性說明。

(1)流形(manifold)是拓撲學和微分幾何中的重要概念。不過，為不涉及過多的數學基礎，此處不準備作嚴格的定義。從概念上說，一個n維流形可理解為由多個同為n維的曲面（或超曲面）經拼接所得到的曲面（或超曲面）。

(2)流形的一個特徵是，它的一個局域可以與一個n維歐氏空間之間建立起點與點間的一對一映射關係，它的每個局域可以分別與各自的一個n維歐氏空間之間建立起點與點間的一對一映射關係，並可在此基礎上建立起通用於各局域的流形局部坐標系，從而變成可度量的( metrizable)。

(3)具有微分結構的流形被稱為微分流形(differential manifold)。這裡所說的微分結構，是指參與拼接的曲面（或超曲面）彼此拼接得是如此之好，以至於流形作為一整體與n維歐氏空間之間的映射能達到任意次可微的程度，即達到光滑的程度。因此微分流形也稱為光滑流形(smooth manifold)或簡稱流形。微分流形可理解為是由多個同為n維的光滑曲面（或超曲面）經拼接所得到的光滑曲面（或超曲面），也就是有任意階導數的n維曲面（或超曲面）。

(4)定義在流形N上的光滑函式 就是定義在流形N的局部坐標繫上的函式。對於一個光滑流形而言，其各階導數都存在。

(5)光滑函式 在某方向上的變化率，一般稱為方嚮導數(directional derivative)。方嚮導數取值是一實數。運算元v表示求方嚮導數的操作，故其映射關係可表示為 。

(6)求導的方向在函式 的定義域上表示，即指的是流形局部坐標平面（或超平面）上定的方向，而不是指在 曲面的切平面（或超切平面）上定的方向。

切向量和方嚮導數有密切關係，但這是兩個不同的概念。切向量被定義為一個抽象的泛函（運算元），指的是 至歐氏空間 的一個映射，而方嚮導數則指的是該映射的像值。

例題解析

（流形 上的切向量，切向量和方嚮導數的差異）設 是定義在 上的 （光滑）函式 在點x的方嚮導數(即 在定義域一定方向上的坡度或變化率）定義為

式中， 是表示方向的係數。方向可以是給定的方向，也可以是某個體現函式 自身性質的方向。

比如， 在點x的梯度(gradient)被定義為向量

在點x的方嚮導數在此方向有最大坡度值 ，梯度方向是 上升最陡的方向，所體現的就是函式 自身的性質。

如果把式 改寫成

註：其中中的三部分分別為切向量的基底、方向向量、光滑函式，這三部分組成一個切向量；為方嚮導數。

可見方嚮導數可拆成三部分。方嚮導數的前面兩部分，即切向量的基底和方向向量合稱為切向量。此切向量完全符合切向量定義。

方向的表示方法一般有兩種。一種是用方向餘弦向量表示，另一種是用方向數向量表示。切向量的方向一般都用後一種表示。方向數向量歸一化後等於方向餘弦向量。也可以說方向數向量等於方向餘弦向量外乘一個常數。該常數表示向量的長度或大小。所以通常所說的方向向量不僅指方向，還可能包括其長度。切向量的方向和大小都是點的函式。在不同點上，不僅方向可能不同，而且外乘的常數（向量的長度）也可能會隨之不同。儘管方向數向量有外乘常數，不僅表示方向，但為方便，以後仍將把它們和方向餘弦向量一樣看待，一律籠統地稱為方向向量。