空間中具有大小和方向的量叫做空間向量。向量的大小叫做向量的長度或模（modulus)。規定，長度為0的向量叫做零向量，記為0。模為1的向量稱為單位向量。與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量。記為-a方向相等且模相等的向量稱為相等向量。
基本介紹
- 中文名：空間向量
- 外文名：space vector
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基本定理
1、共線向量定理
兩個空間向量a,b向量(b向量不等於0），a∥b的充要條件是存在唯一的實數λ，使a=λb
2、共面向量定理
如果兩個向量a,b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是：存在唯一的一對實數x,y,使c=ax+by
3、空間向量分解定理
如果三個向量a、b、c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p=xa+yb+zc。
任意不共面的三個向量都可作為空間的一個基底，零向量的表示唯一。
卦限
三個坐標面把空間分成八個部分，每個部分叫做一個卦限。含有x軸正半軸、y軸正半軸、z軸正半軸的卦限稱為第一卦限，其他第二、三、四卦限，在xoy面的上方，按逆時針方向確定。在第一、二、三、四卦限下面的部分分別稱為第五、六、七、八卦限。
空間向量的八個卦限的符號 | ||||||||
Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ | Ⅶ | Ⅷ | |
x | + | - | - | + | + | - | - | + |
y | + | + | - | - | + | + | - | - |
z | + | + | + | + | - | - | - | - |
問題
立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關係，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。這裡比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，起到一個拋磚引玉的作用。
常識
以下用向量法求解的簡單常識：
1、空間一點P位於平面MAB的充要條件是存在唯一的有序實數對x、y，使得PM=xPA+yPB
2、對空間任一點O和不共線的三點A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x+y+z=1），則四點P、A、B、C共面．
3、利用向量證a∥b，就是分別在a，b上取向量a=λb（λ∈R）．
4、利用向量證a⊥b，就是分別在a，b上取向量a·b=0 ．
5、利用向量求兩直線a與b的夾角，就是分別在a，b上取 a,b，求：<a,b> 的問題．
6、利用向量求距離即求向量的模問題．
7、利用坐標法研究線面關係或求角和距離，關鍵是建立正確的空間直角坐標系，正確表達已知點的坐標．
計算
第一步：
按照圖形建立三維坐標系O-xyz之後，將點的坐標帶進去，求出所需向量的坐標。
第二步：
求平面的法向量：
令法向量n=（x,y,z）
因為法向量垂直於此平面
所以n垂直於此面內兩相交直線（其方向向量為a，b)
可列出兩個方程 n·a=0,n·b=0
兩個方程，三個未知數
然後根據計算方便
取z（或x或y）等於一個數（如：1，√2等）
代入即可求出面的一個法向量n的坐標了.
會求法向量後
1.斜線與平面所成的角就是求出斜線的方向向量與平面的法向量n的夾角，所求角為上述夾角的餘角或者夾角減去π/2.
2.點到平面的距離就是求出該面的法向量n在平面上任取(除被求點在該平面的射影外）一點，
求出平面外那點和你所取的那點所構成的向量，記為a
點到平面的距離就是法向量n與a的數量積的絕對值|n·a|除以法向量的模|n|即得所求.
3.二面角的求法就是求出兩個平面的法向量
可以求出兩個法向量的夾角為兩向量的數量積除以兩向量模的乘積 ：cos<n,m>=|n·m|/(|n||m|)
那么二面角就是上面求的兩法向量的夾角或者它的補角。
4.設直線l,m的方向向量分別為a,b，平面α,β的法向量分別為μ,ν 則
線線平行 l∥m<=>a∥b <=> a=kb
線面平行 l∥α<=>a⊥μ<=>a·μ=0
面面平行 α∥β<=>μ∥ν<=>μ=kν
線線垂直 l⊥m<=>a⊥b<=>a·b=0
線面垂直 l⊥α <=>a∥μ <=> a=kμ
面面垂直 α⊥β<=> μ⊥ν<=>μ·ν=0
5.空間向量的坐標運算：設a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，則
1.|a|=
2.a+b=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)
3.a-b=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)
4.ka=k(x1,y1,z1)=(kx1,ky1,kz1)
5.a·b=x1x2+y1y2+z1z2
6.a∥b<=> a=kb(b≠0,
)
7.a⊥b<=> a·b=0<=>x1x2+y1y2+z1z2=0
8.cos<a,b>=（a·b）/（|a|·|b|）=(x1x2+y1y2+z1z2) / [ 
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