空間向量分解定理

空間向量分解定理是指如果三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組x，y，z，使p=xa+yb+zc。表達式xa+yb+zc叫做向量a，b，c的線性表達式或線性組合。

基本介紹

• 中文名：空間向量分解定理
• 外文名：Space vector decomposition theorem
• 所屬學科：數學
• 相關概念：線性表達式、線性組合、向量等

定理

(空間向量分解定理) 如果三個向量 不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數組 ，使

定理的證明

圖1

設 不共面(圖1)，過點O作 ，過點P作直線PP'平行於OC，交平面OAB於點P'，在平面OAB內，過P'作直線 分別與直線OA，OB相交於點M，N，於是存在三個實數x，y，z，使

即

以下證明表達式( )是唯一的：

令

由於 不共面，可推出

叫做向量 的線性表達式或線性組合。

由上述定理可知，如果三個向量 是不共面的向量(線性無關)，那么 的線性組合 能生成所有的空間向量，這時 叫做空間的一個基底，其中 都叫做基向量。同時可知，空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底。

( )式叫做向量p的沿基向量的分解式。

如果，那么(x，y，z)叫做向量p關於的坐標。

推論

設O，A，B，C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序實數x，y，z，使

例題

已知空間四邊形OABC，M，N分別是對邊OA，BC的中點，點G在MN上，且MG=2GN，試寫出向量沿基底的分解式(圖2)。

圖2

解： 由線段中點的向量表達式，得