區間計算

區間計算曾主要套用於計算誤差控制領域。近年來，區間計算在處理不確定性方面的優點被重新認識並在許多新領域裡得到了套用。

基本介紹

• 中文名：區間計算
• 外文名：interval computing
• 套用：計量經濟分析
• 發展：30年代
• 作者：R.E.Moore
• 套用：誤差控制

基本介紹

區間計算與傳統的以數為對象的運算(即點計算)不同，它的運算對象是區間。雖然區間計算思想的出現可以追溯到上個世紀30年代，但通常認為R. E. Moore (1966)發表的著作標誌了區間計算的正式誕生。經過半個多世紀的發展，人們發現區間計算在控制計算誤差和處理不確定性等方而具有許多特殊的優點。作為一種新的計算方法，區間計算在許多領域中得到了成功的套用。2007年1月，美國數學會把2007年度羅賓遜獎(Robbins Prize)授予了美國數學家Thomas C. Hales和Samuel Ferguson，表彰他們套用區間計算解決了著名的克卜勒猜想。由此可見，區間計算的價值和意義得到了愈來愈多學者的認同。

區間計算最早套用於計算誤差控制領域。由於數字計算機只能使用有限位數表示實數，不能精確表達數學意義上的數值，所以數值的每一步計算都會產生誤差。億萬次計算之後，計算機的“捨入規則”效應可能累積相當大的計算誤差，導致數值計算結果精度嚴重損失。而區間計算的整個過程以“區間”為運算對象，提供區間形式的計算結果。這些運算區間在構造上保證包含數據的真實值，使得結果區間也能夠保證包含數據運算的真實結果。Karl Nickel (1971)首先將區間計算套用於方程組求解的牛頓方法。他結合兩分法，利用區間計算軟體包INTBIS，實現了對求解方程組整個疊代計算過程的誤差控制大大提高了解的計算精度。

套用

區間計算在計量經濟模型中的套用

在實際套用中，區間計算的實現需要有相應的數學定義、規範和高效的區間計算專用軟體包來支持。近年來，科學工作者們初步建立了有關的軟體協定並開發和完善了區間計算軟體包。這保證了區間計算套用於計量經濟分析在技術上的可行性。如何使用區間計算對區間樣本進行參數估計，Hu & He (2007)提出了一種算法，開發出了相應的軟體包其主要步驟如圖:

區間最小二乘法ILS

估計過程以針對“點樣本”進行估計的普通最小二乘原理(OLS)為基礎，在區間計算的法則約束下，衍生出針對區間樣本的“區間最小二乘” (ILS)估計方法。OLS下，為了得到方程中的未知參數，需要如圖計算步驟:

在ILS下，圖中OLS的過程依然適用。

區間誤差校正模型

將區間計算套用於兩方程誤差校正模型(Error Correcrion Model, ECM)，簡稱區間ECM模型(MCM模型)。

(3)

(4)

在點計算方法下，建立ECM模型，首先需要利用方程3檢驗變數Yt和\是否具有協整關係，當協整關係存在時才可以建立方程4。對於實際經濟變數，存在協整關係的條件往往限制了ECM模型的更廣泛使用。

將區間計算試用於上述兩方程誤差校正模型。由於沒有針對ILS本身建模的理論的約束，可以直接將區間數據和區間計算套用於方程(3)和方程(4)。

假設樣本時序長度為n,每一個滾動的時序區間為，步驟如下:

1、首先對方程(3)套用ILS

2、對於每一個時序區間分別建立各自的長期方程 (3)

3、針對這n- +1個擬合方程，套用區間運算法則分別計算各自對應時序區間內的區間殘差序列，共得到n- +1組容量為的殘差序列;計算變數的區間一階差分d和d.

4、分別建立上述n-+1個方程對應時序區間內的ECM並進行ILS。實際上，由於取了一階差分，使得方程縮減到n- 個

5、n-個ECM的樣本外第一個預測區間分別是對~的預測結果。將它們分別和~相加，得到~的預測區間。

一階差分在此具有特殊的經濟含義，表示變數在從t時刻到t+1時刻變動的區間。這一含義比點算法下的一階差分含義要更加豐富。