t分布

t分布

在機率論和統計學中，t-分布（t-distribution）用於根據小樣本來估計呈常態分配且方差未知的總體的均值。如果總體方差已知（例如在樣本數量足夠多時），則應該用常態分配來估計總體均值。

t分布曲線形態與n（確切地說與自由度df）大小有關。與標準常態分配曲線相比，自由度df越小，t分布曲線愈平坦，曲線中間愈低，曲線雙側尾部翹得愈高；自由度df愈大，t分布曲線愈接近常態分配曲線，當自由度df=∞時，t分布曲線為標準常態分配曲線。

基本介紹

  • 中文名：t分布
  • 外文名：t-distribution
  • 學科：機率論和統計學
  • 套用：在對呈常態分配的總體
  • 別稱：學生t分布
  • 相關術語：t檢驗
歷史,定義,擴展,特徵,置信區間,計算,

歷史

在機率論和統計學中，學生t-分布（Student's t-distribution）經常套用在對呈常態分配的總體的均值進行估計。它是對兩個樣本均值差異進行顯著性測試的學生t測定的基礎。t檢定改進了Z檢定（en:Z-test），不論樣本數量大或小皆可套用。在樣本數量大（超過120等）時，可以套用Z檢定，但Z檢定用在小的樣本會產生很大的誤差，因此樣本很小的情況下得改用學生t檢定。在數據有三組以上時，因為誤差無法壓低，此時可以用變異數分析代替學生t檢定。
當母群體的標準差是未知的但卻又需要估計時，我們可以運用學生t-分布。
學生t-分布可簡稱為t分布。其推導由威廉·戈塞於1908年首先發表，當時他還在都柏林的健力士釀酒廠工作。因為不能以他本人的名義發表，所以論文使用了學生（Student）這一筆名。之後t檢驗以及相關理論經由羅納德·費雪的工作發揚光大，而正是他將此分布稱為學生分布。

定義

由於在實際工作中，往往σ是未知的，常用s作為σ的估計值，為了與u變換區別，稱為t變換，統計量t 值的分布稱為t分布。
假設X服從標準常態分配N（0,1），Y服從
分布，那么
的分布稱為自由度為n的t分布,記為
。
分布密度函式
，
其中，Gam(x)為伽馬函式。
t分布

擴展

常態分配（normal distribution）是數理統計中的一種重要的理論分布，是許多統計方法的理論基礎。常態分配有兩個參數，μ和σ，決定了常態分配的位置和形態。為了套用方便，常將一般的正態變數X通過u變換[(X-μ)/σ]轉化成標準正態變數u，以使原來各種形態的常態分配都轉換為μ=0，σ=1的標準常態分配（standard normal distribution）,亦稱u分布。
根據中心極限定理，通過上述的抽樣模擬試驗表明，在常態分配總體中以固定n，抽取若干個樣本時，樣本均數的分布仍服從常態分配，即N(μ,
)。所以，對樣本均數的分布進行u變換，也可變換為標準常態分配N (0,1)。

特徵

1．以0為中心，左右對稱的單峰分布；
2．t分布是一簇曲線，其形態變化與n（確切地說與自由度df）大小有關。自由度df越小，t分布曲線越低平；自由度df越大，t分布曲線越接近標準常態分配（u分布）曲線，如圖：
t(n)分布與標準正態N(0,1)的密度函式。
t分布
3.隨著自由度逐漸增大，t分布逐漸接近標準常態分配。
對應於每一個自由度df，就有一條t分布曲線，每條曲線都有其曲線下統計量t的分布規律，計算較複雜。
學生的t分布（或也t分布） ，在機率統計中，在置信區間估計、顯著性檢驗等問題的計算中發揮重要作用。
t分布情況出現時（如在幾乎所有實際的統計工作）的總體標準偏差是未知的，並要從數據估算。教科書問題的處理標準偏差，因為如果它被稱為是兩類：
（ 1 ）那些在該樣本規模是如此之大的一個可處理的數據為基礎估計的差異，就好像它是一定的；
（ 2 ）這些說明數學推理，在其中的問題，估計標準偏差是暫時忽略的，因為這不是一點，這是作者或導師當時的解釋。

置信區間

假設數量A在當T呈t-分布（T的自由度為n−1）滿足
這與是相同的。A是這個機率分布的第95個百分點。
那么
等價於
因此μ的90%置信區間為：
。

計算

下表列出了自由度為1-30以及80、100、120等t-分布的單側和雙側區間值。例如，當樣本數量n=5時，則自由度df=4，我們就可以查找表中以4開頭的行。該行第5列值為2.132，對應的單側值為95%（雙側值為90%）。這也就是說，T小於2.132的機率為95%（即單側），記為Pr(−∞ < T < 2.132) = 0.95；同時，T值介於-2.132和2.132之間的機率為90%（即雙側），記為Pr(−2.132 < T < 2.132) = 0.9。
這是根據分布的對稱性計算得到的。
  • Pr(T < −2.132) = 1 − Pr(T > −2.132) = 1 − 0.95 = 0.05
因此，
  • Pr(−2.132 < T < 2.132) = 1 − 2(0.05) = 0.9
注意 關於表格的最後一行的值：自由度為無限大（n=120）的t-分布和常態分配等價。
單側75%80%85%90%95%97.5%99%99.5%99.75%99.9%99.95%
1
1.000
1.376
1.963
3.078
6.314
12.71
31.82
63.66
127.3
318.3
636.6
2
0.816
1.061
1.386
1.886
2.920
4.303
6.965
9.925
14.09
22.33
31.60
3
0.765
0.978
1.250
1.638
2.353
3.182
4.541
5.841
7.453
10.21
12.92
4
0.741
0.941
1.190
1.533
2.132
2.776
3.747
4.604
5.598
7.173
8.610
5
0.727
0.920
1.156
1.476
2.015
2.571
3.365
4.032
4.773
5.893
6.869
6
0.718
0.906
1.134
1.440
1.943
2.447
3.143
3.707
4.317
5.208
5.959
7
0.711
0.896
1.119
1.415
1.895
2.365
2.998
3.499
4.029
4.785
5.408
8
0.706
0.889
1.108
1.397
1.860
2.306
2.896
3.355
3.833
4.501
5.041
9
0.703
0.883
1.100
1.383
1.833
2.262
2.821
3.250
3.690
4.297
4.781
10
0.700
0.879
1.093
1.372
1.812
2.228
2.764
3.169
3.581
4.144
4.587
11
0.697
0.876
1.088
1.363
1.796
2.201
2.718
3.106
3.497
4.025
4.437
12
0.695
0.873
1.083
1.356
1.782
2.179
2.681
3.055
3.428
3.930
4.318
13
0.694
0.870
1.079
1.350
1.771
2.160
2.650
3.012
3.372
3.852
4.221
14
0.692
0.868
1.076
1.345
1.761
2.145
2.624
2.977
3.326
3.787
4.140
15
0.691
0.866
1.074
1.341
1.753
2.131
2.602
2.947
3.286
3.733
4.073
16
0.690
0.865
1.071
1.337
1.746
2.120
2.583
2.921
3.252
3.686
4.015
17
0.689
0.863
1.069
1.333
1.740
2.110
2.567
2.898
3.222
3.646
3.965
18
0.688
0.862
1.067
1.330
1.734
2.101
2.552
2.878
3.197
3.610
3.922
19
0.688
0.861
1.066
1.328
1.729
2.093
2.539
2.861
3.174
3.579
3.883
20
0.687
0.860
1.064
1.325
1.725
2.086
2.528
2.845
3.153
3.552
3.850
21
0.686
0.859
1.063
1.323
1.721
2.080
2.518
2.831
3.135
3.527
3.819
22
0.686
0.858
1.061
1.321
1.717
2.074
2.508
2.819
3.119
3.505
3.792
23
0.685
0.858
1.060
1.319
1.714
2.069
2.500
2.807
3.104
3.485
3.767
24
0.685
0.857
1.059
1.318
1.711
2.064
2.492
2.797
3.091
3.467
3.745
25
0.684
0.856
1.058
1.316
1.708
2.060
2.485
2.787
3.078
3.450
3.725
26
0.684
0.856
1.058
1.315
1.706
2.056
2.479
2.779
3.067
3.435
3.707
27
0.684
0.855
1.057
1.314
1.703
2.052
2.473
2.771
3.057
3.421
3.690
28
0.683
0.855
1.056
1.313
1.701
2.048
2.467
2.763
3.047
3.408
3.674
29
0.683
0.854
1.055
1.311
1.699
2.045
2.462
2.756
3.038
3.396
3.659
30
0.683
0.854
1.055
1.310
1.697
2.042
2.457
2.750
3.030
3.385
3.646
40
0.681
0.851
1.050
1.303
1.684
2.021
2.423
2.704
2.971
3.307
3.551
50
0.679
0.849
1.047
1.299
1.676
2.009
2.403
2.678
2.937
3.261
3.496
60
0.679
0.848
1.045
1.296
1.671
2.000
2.390
2.660
2.915
3.232
3.460
80
0.678
0.846
1.043
1.292
1.664
1.990
2.374
2.639
2.887
3.195
3.416
100
0.677
0.845
1.042
1.290
1.660
1.984
2.364
2.626
2.871
3.174
3.390
120
0.677
0.845
1.041
1.289
1.658
1.980
2.358
2.617
2.860
3.160
3.373
無窮大
0.674
0.842
1.036
1.282
1.645
1.960
2.326
2.576
2.807
3.090
3.291

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