樣本均值的抽樣分布

樣本均值的抽樣分布是所有的樣本均值形成的分布，即μ的機率分布。樣本均值的抽樣分布在形狀上卻是對稱的。隨著樣本量n的增大，不論原來的總體是否服從常態分配，樣本均值的抽樣分布都將趨於常態分配，其分布的數學期望為總體均值μ，方差為總體方差的1/n。這就是中心極限定理（central limit theorem）。

基本介紹

• 中文名：樣本均值的抽樣分布
• 方差：總體方差的1/n
• 數學期望：總體均值μ
• 包含定理：中心極限定理

簡介

(一)樣本均值的抽樣分布

設總體共有N個元素，從中隨機抽取一個容量為n的樣本，在重置抽樣時，共有種抽法，即可以組成不同的樣本，在不重複抽樣時，共有個可能的樣本。每一個樣本都可以計算出一個均值，這些所有可能的抽樣均值形成的分布就是樣本均值的分布。但現實中不可能將所有的樣本都抽取出來，因此，樣本均值的機率分布實際上是一種理論分布。數理統計學的相關定理已經證明：

即樣本均值的均值就是總體均值。

無限總體，樣本均值的方差為總體方差的1/n，即

有限總體，樣本均值的方差為(x為平均數)

情況分析

其中， 為修正係數，對於無限總體進行不重置抽樣時，可以按照重置抽樣計算，當總體為有限總體，N比較大而n/N≥5% 時，修正係數可以簡化為1-n/N，當N比較大，而n/N<5%時，修正係數可以近似為1，即可以按重置抽樣計算。

當總體服從常態分配時，樣本均值一定服從常態分配，即有X~N( )時，

若總體為未知的非常態分配時，只要樣本容量 n足夠大(通常要求n ≥30),樣本均值仍會接近常態分配。樣本分布的期望值為總體均值，樣本方差為總體方差的1/n 。這就是統計上著名的中心極限定理。該定理可以表述為：從均值為μ、方差為σ^2（有限）的總體中，抽取樣本量為n的隨機樣本，當n充分大時(通常要求n ≥30)，樣本均值的分布近似服從均值為μ ,方差為σ^2/n 的常態分配。

如果總體不是常態分配，當n為小樣本時(通常n<30)，樣本均值的分布則不服從常態分配，服從t分布。