樣本統計量

樣本統計量(簡稱統計量)指的是樣本的函式,並且此函式不含有未知參數。常見的統計量有:樣本均值樣本方差,樣本極差等。

基本介紹

  • 中文名:樣本統計量
  • 外文名:sample statistics
  • 簡稱:統計量
  • 概述:樣本的函式
  • 舉例:樣本均值,樣本方差
  • 套用領域:統計學
定義,簡單隨機樣本,樣本統計量,舉例,拓展,順序統計量,極差,抽樣分布,

定義

簡單隨機樣本

定義1 設X1,X2,...,Xn是來自總體X的容量為n的樣本,如果X1,X2,...,Xn相互獨立且每一個都是與總體X有相同分布的隨機變數,則稱X1,X2,...,Xn總體X的容量為n的簡單隨機樣本,簡稱為簡單樣本或樣本。
註:樣本X1,X2,...,Xn也可用n維隨機向量 (X1,X2,...,Xn) 表示。記xi為Xi的一次觀察值,並稱(x1,x2,...,xn)為樣本X1,X2,...,Xn的一次觀察值。

樣本統計量

定義2 設X1,X2,...,Xn總體X的樣本,T為n維實值函式,作樣本X1,X2,...,Xn函式T=T(X1,X2,...,Xn)(不帶未知參數的隨機變數),T的取值記為t=T(x1,x2,...,xn),稱T或T(X1,X2,...,Xn)為樣本統計量,簡稱為統計量
註:1)統計量指的是樣本的函式,並且不含有未知參數。樣本的函式等價於定義在樣本空間上的函式。
2)給定樣本的一次觀察值x=(x1,x2,...,xn) 時,T(x1,x2,...,xn)的值完全確定。

舉例

例1 設X1,X2,...,Xn總體X的樣本,其容量為n. 記
都是統計量,稱
分別為樣本X1,X2,...,Xn的平均值及方差。樣本的觀察值為x1,x2,...,xn,
的觀察值分別記作

拓展

順序統計量

定義3 設X1,X2,...,Xn為總體X的樣本,今由樣本建立n個函式:
其中
為這樣的統計量,它的觀察值為
為樣本X1,X2,...,Xn的觀察值x1,x2,...,xn中由小到大排列後的第k為數值,則稱
順序統計量
註:易見,
為最小項統計量,
為最大項統計量。

極差

定義4 設X1,X2,...,Xn為總體X的樣本,則稱統計量
為樣本的極差
註:極差是樣本中最大值與最小值之差,反映了樣本觀察值的波動幅度。它同方差一樣是反映觀察值離散程度的數量指標,而且計算方便。

抽樣分布

統計量是對總體X的分布函式數字特徵進行估計推斷最重要的基本概念,求出統計量T(x1,x2,...,xn)的分布函式是數理統計學的基本問題之一。統計量的分布,稱為抽樣分布

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