端點定理

凸集理論在基礎數學、套用數學中都有十分重要的地位。作為前蘇聯學派代表性工作的端點定理（即Krein-Milman定理）是指局部凸線性拓撲空間中的每一緊凸集等於其端點的凸包，該定理是關於凸集幾何理論的一個基本結果，而該定理的關鍵在於證明局部凸線性拓撲空間中緊集端點的存在性。

基本介紹

• 中文名：端點定理
• 外文名：extreme point theorem
• 別稱：克列因-米爾曼定理
• 相關人物：克列因、米爾曼
• 套用：描述局部凸空間端點集合結構
• 所屬學科：數學

基本介紹

端點定理(extreme point theorem)是描述局部凸空間端點集合結構的定理。設A為線性空間E的子集，點稱為A 的端點，如果任何含有點的線段包含在A內，則就是該線段的端點。當A是局部凸空間E的緊凸集時，A 的端點全體所成集合的閉凸包與A 相等，這個命題稱為克列因-米爾曼端點定理，克列因和米爾曼於1940 年就賦范線性空間的情形證明了上述定理。端點方法已成為研究凸性的一種重要工具。

相關基本概念

端點

端點在凸集幾何理論中是一個非常基本且重要的概念。所謂是集合E端點，是指如果，必有。其中E是線性空間x中的一個子集，並記E的端點的全體為。

端點(extreme point)是凸集中的特殊點，它使該凸集去掉它後仍是凸集。設A為實線性空間X中的凸集。是A的端點的充分必要條件：如果存在，使得，那么。局部凸空間中的緊凸集一定是其端點集的閉凸包(克列因-米爾曼定理)。當空間是有限維時，上述結果中閉凸包可改為凸包(閔科夫斯基定理)。這一結果也就是說，緊凸集中的每一點都可用關於端點的凸組合來表示。“無限”凸組合可用關於機率測度的積分來表示。由此就引起紹凱積分表示定理：局部凸空間中的緊凸集中的每一點都可通過在端點集上定義一機率測度，使得該點有積分表示。

端點概念可以推廣為一般的端子集。例如，對於凸錐可定義端射線為該凸錐去掉它後仍是凸錐，紹凱積分表示定理可推廣到凸錐情形，這時紹凱積分表示理論就與函式類的積分表示理論緊密聯繫起來。

端點線上性規劃理論中也起重要作用。每一線性規劃的解一定在它的可行集的端點上達到。因此，只需比較目標函式在端點上的值就可求得規劃的解，這正是單純形方法的基本思想。

可約

接下來引入本文最為重要的一個概念——可約，它是證明一般線性拓撲空間中緊集端點存在的充分必要條件的關鍵要素。

定義2 線性拓撲空間X中的一緊子集E稱為可約的，是指當E不是單點集時，必存在E的非空真緊子集具有性質：對於任意，若且，則必有。其中稱為E的約化項。

注1 若E是單點集，則規定E是可約的，且其約化項即為其自身。

注2 若為E的約化項，則是緊的而且。

緊集上端點的存在性

討論一般線性拓撲空間中緊集的端點存在性。以下空間X均表示線性拓撲空間。

引理1 設E為空間x中一緊集，若某一單點集是E的約化項，則。

定理1中一切緊集有端點的充分必要條件是每一緊集都是可約的。

命 題 i) 設是中勢大於1的緊集，若存在E上不恆為常數的連續凸泛函，則必是可約的；

ii) 若對中每一勢大於1的緊集都存在其上相應的不恆為常數的連續凸泛函，則該緊集必有端點。

定理2 設是局部凸線性拓撲空間，則的每一緊子集必有端點。

端點定理的證明

Krein-Milman定理/端點定理：設X是局部凸線性拓撲空間，E為X的緊凸子集，則。

證明：首先，可推知，下面證明。不妨令，則顯然。於是只需證明同時也成立即可。

假設存在，則由凸集嚴格分離定理可知，存線上性連續泛函，使

令，則即為E的約化項，於是。設，則據約化定義，。這顯然與式(1)矛盾。因此假設錯誤，即。從而即證得。