複合映射

複合映射是映射g和f構成的複合映射。映射f和g構成複合映射的條件是：g的值域必須包含在f的定義域內，否則，不能構成複合映射。

基本介紹

• 中文名：複合映射
• 外文名：composite mapping
• 類型：名詞
• 領域：數學
• 相關：映射g和f構成的複合映射
• 套用學科：數學術語

概念

對二元關係可以進行複合運算和逆運算，映射也是一種二元關係，按照關係的複合運算可以對複合映射給出下面定義。

定義：設映射，，則與的複合映射，是一個從到的映射，記作，簡記作，即

{，且存在，，使}。

應當注意，當複合關係是一個複合映射時，在它的表示符號中顛倒了與的位置而寫成了，目的是為了將變元放在映射符號的右側，使，因此也常稱為對的左複合，體現出先寫出的後進行。

基本定理

定理1：設映射，，，則

定理1的證明：由映射與複合映射的定義可知，與都是的複合映射。

對於任意，設，，，其中，，，則

由於的任意性，所以，。證畢。

定理2：設，，，則

（1）若與都是滿射，則也是滿射；

（2）若與都是單射，則也是單射；

（3）若與都是雙射，則也是雙射。

定理2的證明：（1）設任意，由於映射是滿射，所以存在某個，使得。又因為映射也是滿射，也必有某個，使得，於是，因此是滿射。

（2）設任意，且，由於映射是單射，所以，又由於映射也是單射，所以。因此，由可得，故是單射。

（3）由於映射和都是雙射，由（1）和（2），可以得出既是滿射又是單射，所以也是雙射。證畢。