歸一化(數學)

歸一化是一種簡化計算的方式，即將有量綱的表達式，經過變換，化為無量綱的表達式，成為標量。 在多種計算中都經常用到這種方法。

基本介紹

• 中文名：歸一化
• 外文名：normalization
• 定義：簡化計算的方式
• 性質：標量
• 研究領域：物理學
• 歸一條件：粒子量子態的波函式滿足歸一條件

簡單介紹

歸一化是一種無量綱處理手段，使物理系統數值的絕對值變成某種相對值關係。簡化計算，縮小量值的有效辦法。例如，濾波器中各個頻率值以截止頻率作歸一化後，頻率都是截止頻率的相對值，沒有了量綱。阻抗以電源內阻作歸一化後，各個阻抗都成了一種相對阻抗值，“歐姆”這個量綱也沒有了。等各種運算都結束後，反歸一化一切都復原了。信號處理工具箱中經常使用的是nyquist頻率，它被定義為採樣頻率的二分之一，在濾波器的階數選擇和設計中的截止頻率均使用nyquist頻率進行歸一化處理。例如對於一個採樣頻率為500hz的系統，400hz的歸一化頻率就為400/500=0.8，歸一化頻率範圍在[0,1]之間。如果將歸一化頻率轉換為角頻率，則將歸一化頻率乘以2*pi，如果將歸一化頻率轉換為hz，則將歸一化頻率乘以採樣頻率的一半。

歸一條件

在量子力學里，表達粒子的量子態的波函式必須滿足歸一條件，也就是說，在空間內找到粒子的機率必須等於1。這性質稱為歸一性。

歸一化導引

一般而言，波函式是一個複函數。可是，機率密度是一個實函式，空間內積分和為1，稱為機率密度函式。所以在區域內，找到粒子的機率是1。

因為粒子存在於空間，因此在空間內找到粒子機率是1，所以積分於整個空間將得到1。

假若，從解析薛丁格方程而得到的波函式，其機率是有限的，但不等於1，則可以將波函式乘以一個常數，使機率等於1。或者假若波函式內，已經有一個任意常數，可以設定這任意常數的值，使機率等於1。

套用

1.複數阻抗可以歸一化寫為：Z = R + jωL = R(1 + jωL/R)（複數部分變成了純數了，沒有任何量綱）。

2.微波之中也就是電路分析、信號系統、電磁波傳輸等，有很多運算都可以如此處理，既保證了運算的便捷，又能凸現出物理量的本質含義。

3.在統計學中，歸一化的具體作用是歸納統一樣本的統計分布性。歸一化在0-1之間是統計的機率分布，歸一化在-1--+1之間是統計的坐標分布。即該函式在(-∞,+∞)的積分為1。

薛丁格方程的歸一化

薛丁格方程為

其中，H是表征波函式總能量的哈密頓算符，是物理系統的波函式，i是虛數。h是約化普朗克常數。

將波函式歸一化為。則薛丁格方程成為

對於歸一化，薛丁格方程是個不變式，因為薛丁格方程是個線性微分方程。

一個表達粒子量子態的波函式，必須滿足粒子的薛丁格方程。既然和都能夠滿足同樣的薛丁格方程，它們必定都表達同樣的量子態。假若不使用歸一化的波函式，則只能知道機率的相對大小；否則，使用歸一化的波函式，可以知道絕對的機率。這對於量子問題的解析，會提供許多便利。

圖像處理中的歸一化

原因

圖像中，若比較兩張圖片（兩張圖片的樣式：通道數，數據格式相同、大小：解析度可以不同）

1.比較兩張圖片大小，需要判斷是否相同的時候；

2.求取較小的一張圖片在大圖中的位置，需要判斷的時候。

這個時候，我們可以使用歐式距離來作為判斷函式，如下：

（基礎就是二維中的兩點的距離： ）

若D=0，說明圖片相等；或者是小的一張圖片已經找到在大圖中的位置。但是上面的D值的取值範圍太廣，甚至可以達到（0，正無窮大），會超出計算機的計算範圍。故使用歸一化處理。

處理步驟

1. 將這個相似性函式展開，可以得：

2.可以看出，只有第二項是有意義的，因為第一項和第三項的值在選定模板後是固定的。對於歐式距離相似函式，值越大表示越不相似，也就是說，第二項的值越小則越不相似。

將第二項進行歸一化：

那么當R（i，j）為1時，表示模板與子圖完全相等。