數學上，特別是線性代數和泛函分析中，譜定理是關於線性運算元或者矩陣的一些結果。泛泛來講，譜定理給出了運算元或者矩陣可以對角化的條件（也就是可以在某個基底中用對角矩陣來表示）。對角化的概念在有限維空間中比較直接，但是對於無窮維空間中的運算元需要作一些修改。通常，譜定理辨認出一族可以用乘法運算元來代表的線性運算元，這是可以找到的最簡單的情況了。用更抽象的語言來講，譜定理是關於交換C*-代數的命題。參看譜分析中的歷史觀點。
可以套用譜定理的例子有希爾伯特空間上的自伴運算元或者更一般的正規運算元。
譜定理也提供了一個運算元所作用的向量空間的標準分解，稱為譜分解，特徵值分解，或者特徵分解。
本條目中，主要考慮譜定理的簡單情況，也就是希爾伯特空間上的自伴運算元。但是，如上文所述，譜定理也對希爾伯特空間上的正規運算元成立。
基本介紹
- 中文名：譜定理
- 外文名：Spectral theorem
- 特點：泛函分析中
- 情況：有限維
- 類別：數學
- 套用：泛函分析
基本概念,正規自同態,緊自伴運算元,有界自伴運算元,一般自伴運算元,
基本概念
埃爾米特矩陣
從在具有標準埃爾米特內積的有限維實或者復內積空間V上的埃爾米特矩陣A開始；埃爾米特條件意味著
對於所有V的元素x, y成立。
一個等價的條件是A = A，其中A是A的共軛轉置。若A為實矩陣，這等價於A = A（也即，A是對稱矩陣）。埃爾米特矩陣的特徵值是實數。
先回顧一下線性運算元A的特徵向量是（非零）向量x使得對於某個標量λ成立。值λ是相應的特徵值。
定理：存在V的標準正交基，由A的特徵向量組成。每個特徵值都是實數。
證明
這裡給出複數情況的證明概要。
根據代數基本定理，任何方形虛數項矩陣存在至少一個特徵值。若A為埃爾米特矩陣，有特徵向量e1，考慮子空間K = span{e1}，也即e1的正交補空間。根據埃爾米特性，K為A的不變子空間。在K上採用同樣的論證表明A有特徵向量e2 ∈ K。通過有限歸納法可以完成證明。
譜定理對於 n 維歐幾里得空間上的對稱矩陣也成立，但是特徵向量的存在性更難一些。實對稱矩陣有實特徵值，因此特徵向量有實項。
若取A的特徵向量為標準正交基，A在這個基上的表示是對角的。等價地，A可以寫作互相正交的投影的線性組合，稱為它的譜分解。令
為對應於特徵值λ的特徵空間。注意該定義不依賴於特定特徵向量的選擇。V是空間Vλ的直積，其中下標取遍特徵值。令Pλ為到Vλ上的正交投影，而λ1,..., λm 為A的特徵值，譜分解可以寫作：
譜分解是舒爾分解的特例。也是奇異值分解的特例。
正規矩陣
譜定理可以推廣到更為一般的矩陣。令A為有限維內積空間上的運算元。A稱為正規運算元若A A = A A.可以證明A正規若且唯若它可以酉對角化：根據舒爾分解，A= U T U，其中U是酉矩陣而T是上三角陣。 因為A正規，T T = T T.所以T必定是對角的。反過來也是顯然的。
換言之，A正規若且唯若存在酉矩陣U使得
其中Λ是對角矩陣，其各項為A的特徵值。U的列向量是A的特徵向量，而且他們是單位正交的。和埃爾米特的情況不同，Λ的對角項未必為實數。
正規自同態
設E為歐幾里得或埃爾米特向量空間. E的自同態f稱為正規的，如果它有伴隨f，且二者是可交換的： ff=f* 。
當E是歐幾里得向量空間時，對稱自同態、反對稱自同態、正交自同構皆是正規自同態。
同樣，當E是埃爾米特向量空間時，埃爾米特自同態、反埃爾米特自同態、酉自同構皆是正規自同態.設E為非零有限維的埃爾米特向量空間.為使E的自同態f是正規的，必須且只須存在E的由f的特徵向量構成的標準正交基. 換言之，任一正規自同態在標準正交基下是可對角化的(譜定理)。
緊自伴運算元
一般來講，希爾伯特空間中的關於緊自伴運算元的譜定理和有限維的基本一樣。
定理：設A為希爾伯特空間V上的緊自伴運算元。存在V的標準正交基，由A的特徵向量構成。每個特徵值都是實數。
對於埃爾米特矩陣，關鍵在於存在至少一個非零向量。要證明這一點，不能靠行列式來表明特徵值的存在，而是要使用極大化論證，類似於特徵值的變分表述。上述譜定理對於實或虛希爾伯特空間都成立。
如果緊性假設被取消，則未必每個自伴運算元都有特徵。
有界自伴運算元
接下來的推廣是希爾伯特空間V上的有界自伴運算元A。這樣的運算元可能沒有特徵值：例如令A為L[0, 1]上乘以t的運算元，也即
定理：令A為希爾伯特空間H上有界自伴運算元。則存在測度空間(X, Σ, μ)和X上實值可測函式f，以及酉運算元U:H → Lμ(X)使得
其中T是乘法運算元：
這是稱為運算元理論的泛函分析這個巨大的研究領域的起點。
對於希爾伯特空間上的有界正規運算元也有一個類似的譜定理。結論中唯一的區別在於可能是復值的。
譜定理的另一個表述形式將運算元表達為在運算元譜上的坐標函式關於投影值測度的積分。當該正規運算元是緊的，這個版本的譜定理退化為上面的有限維譜定理，只是運算元表達為可能為無限多的投影的線性組合。
一般自伴運算元
很多數學分析中的重要線性運算元，例如微分運算元，是無界的。對於這類情況的自伴運算元也有一個譜定理。例如，任何常係數微分運算元酉等價於乘法運算元。事實上，實現這一等價的酉運算元就是傅立葉變換；該乘法運算元是一類傅立葉乘子。
